Question

已知平行四邊形ABCD中對角線AC的垂直平分線交AD于點F，交BC于點E．
求證：四邊形AECF是菱形．
證明：∵EF是AC的垂直平分線（已知）
∴四邊形AECF是菱形（對角線互相垂直平分的四邊形是菱形）．
老師說小明的解答不正確
（1）能找出小明錯誤的原因嗎？請你指出來．
（2）請你給出本題的證明過程．

Answer 1

分析：（1）EF垂直平分AC，但AC并不平分EF，需要通過證明得出；
（2）ABCD是平行四邊形，可得∠FAC=∠ECA，則可證得△AOF≌△COE，故EO=FO，又因為EF垂直平分AC，從而根據對角線互相垂直平分的四邊形是菱形來得到所求的結論．

解答：解：（1）小明錯在AC和EF并不是互相平分的，EF垂直平分AC，但AC并不平分EF，需要通過證明得出．
（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴∠FAC=∠ECA
在△AOF與△COE中

∠FAC=∠ECA OA=OC ∠AOF=∠COE

∴△AOF≌△COE
∴EO=FO
∴四邊形AECF是菱形．

點評：本題考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性質，平行四邊形的性質．菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據，常用三種方法：①定義；②四邊相等；③對角線互相垂直平分．具體選擇哪種方法需要根據已知條件來確定．