Question

已知四邊形為直角梯形．動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)依次沿線段， 向點(diǎn)D移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)路程為x，△的面積y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系如圖4所示．
（1） 若圖4中，請(qǐng)你確定的長(zhǎng)；
（2） 在（1）的條件下，連接，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到上，過(guò)點(diǎn)P作∥，交線段AC于Q（如圖2），若線段的動(dòng)點(diǎn)N使△為等腰直角三角形，則的長(zhǎng)為多少？
（3） 若圖4中，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到的中點(diǎn)時(shí)，連接，且與相交于點(diǎn)M，試問(wèn)以 為頂點(diǎn)的三角形能否與△相似？若能，請(qǐng)求出圖4中a的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1） ， 
（2）由（1）知，，存在如下圖的三種等腰三角形的情況：
   
   易求得，PQ的長(zhǎng)為或
（3） 當(dāng)時(shí)，，
   由已知，以 為頂點(diǎn)的三角形與△相似，
  又易證得∠﹦∠．
  ∴另一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等有兩種情況：①∠﹦∠；②∠﹦∠．
  當(dāng)∠﹦∠時(shí)，∵∥，
  ∴∠﹦∠，
  ∴∠﹦∠．
  ∴，易得；
  當(dāng)∠﹦∠時(shí)，∵∥，
  ∴∠﹦∠， ∴∠﹦∠，
 又∠是公共角，∴△∽△
 ∴， 即，
   可解得=
  綜上所述，所求線段AD的長(zhǎng)為或．