Question

（2013•貴陽模擬）如圖，在平面直角坐標系中，△ABCS三個頂點的坐標分別為A（-6，0），B（6，0），C（0，m）（其中m＞0），延長AC到點D，使CD=

1

2

AC，過點D作DE∥AB交BC的延長線于點E．
（1）D點的坐標是

（3，

3

2

m）

（用含m的代數(shù)式表示）
（2）當△ABC為等腰三角形時，作C點關(guān)于直線DE的對稱點F，分別連接DF、EF，若過B點的直線y=kx+b將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，確定此直線的表達式；
（3）在△ABC為等腰三角形的條件下，點P為y軸上任一點，連接BP、DP，當BP+DP的值最小時，點P的坐標為

（0，m）

．

Answer 1

分析：（1）易證△ABC∽△DEC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求得DF，OF的長，則D的坐標即可求解；
（2）易證四邊形CDFE是菱形，則直線y=kx+b將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，則一定經(jīng)過點F（0，

3

2

），利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式；
（3）△ABC為等腰三角形，則A、B關(guān)于y軸對稱，因而直線AD與y軸的交點C就是點P，據(jù)此即可求解．

解答：解：（1）∵A（-6，0），B（6，0），C（0，m），
∴OA=OB=6，OC=m，AB=12，
∵DE∥AB，
∴△ABC∽△DEC，
∴

DF

OA

=

CF

OC

=

DE

AB

=

1

2

，
∴DF=

1

2

OA=3，CF=

1

2

OC=

1

2

m，
∴OF=

3

2

m，
則D的坐標是（3，

3

2

m）．

（2）∵C點關(guān)于直線DE的對稱點F，
又∵DE關(guān)于y軸對稱，
∴四邊形CDFE是菱形．
∴直線y=kx+b將四邊形CDFE分成周長相等的兩個四邊形，則一定經(jīng)過點F（0，

3

2

），
根據(jù)題意得：

6k+b=0 b= 3 2 m

，
解得：

k=- 1 4 m b= 3 2 m

，
則直線的解析式是：y=-

1

4

mk+

3

2

m；

（3）∵△ABC為等腰三角形，
∴A、B關(guān)于y軸對稱，
∴直線AD與y軸的交點C就是點P，坐標是（0，m）．
故答案是：（3，

3

2

m）；（0，m）．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，以及軸對稱的性質(zhì)，正確判斷四邊形CDFE是菱形是關(guān)鍵．