Question

已知關(guān)于x的方程x²-（2k-3）x+k²+1=0．
（1）當k為何值時，此方程有實數(shù)根；
（2）若此方程的兩實數(shù)根x₁，x₂滿足（x₁-x₂）²=2，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)根的判別式的意義得到當△=（2k-3）²-4（k²+1）≥0時，方程有實數(shù)根，然后解不等式即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=2k-3，x₁•x₂=k²+1，變形（x₁-x₂）²=2得（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=2，所以（2k-3）²-4（k²+1）=2，然后解方程即可．

解答：解：（1）△=（2k-3）²-4（k²+1）≥0，解得k≤

5

12

，
所以k≤

5

12

時，此方程有實數(shù)根；
（2）根據(jù)題意得x₁+x₂=2k-3，x₁•x₂=k²+1，
∵（x₁-x₂）²=2，
∴（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=2，
∴（2k-3）²-4（k²+1）=2，
∴k=

1

4

．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系．