Question

（2008•岳陽）如圖（1），四邊形ABCD為平行四邊形，E在CD上，將△CBE沿BE翻折，點C正好落在AD邊上的點C′處．
（1）在圖（1）中，請直接寫出四對相等的線段；
（2）將圖（1）中的△ABC′剪下拼接在圖（2）中△DCF的位置上（其中△ABC′的三個頂點A、B、C′分別與△DCF的三個頂點D、C、F重合，并且圖（2）的點C′、D、F三點在同一直線上）試證明圖（2）中的四邊形BCFC′是菱形．

Answer 1

【答案】分析：（1）、由平行四邊形的性質(zhì)知，AB=CD，AD=BC，由折疊的性質(zhì)知，BC=BC′，CE=C′E．
（2）、在圖甲中，由平行四邊形的性質(zhì)知，BC=AD，BC∥C'D，在圖甲與圖乙中依題意知△ABC'≌△DCF?AC'=DF?AC'+C'D=C'D+DF?AD=C'F，即得BC=C'F，易證明四邊形BCFC'為平行四邊形，由折疊的性質(zhì)知BC=BC'，由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得，四邊形BCFC'為菱形．
解答：（1）解：寫出AB=CD，AD=BC，BC=BC'，EC=EC'，BC'=AD中的任意四對相等線段即可；

（2）證明一：在圖甲中
∵四邊形ABCD為平行四邊形BC=AD，BC∥C'D
在圖甲與圖乙中依題意知△ABC'≌△DCF，∴AC'=DF
∴AC'+C'D=C'D+DF
∴AD=C'F，即BC=C'F．
又∵BC∥C'F
∴四邊形BCFC'為平行四邊形，
由折疊的性質(zhì)知BC=BC'
∴四邊形BCFC'為菱形．

證明二：∵C'，D，F(xiàn)三點共線，又△ABC'的三個頂點A，B，C'分別與△DCF的三個頂點D，C，F(xiàn)重合
∴△ABC'≌△DCF
∴AC'=DF，AC'+C'D=C'D+DF
即AD=C'F
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，BC∥C'F
∴四邊形BCFC'是平行四邊形，
又BC=BC'
∴平行四邊形BCFC'是菱形．
點評：本題利用了：1、折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等；2、平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定求解．