Question

已知當(dāng)x=

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2

時(shí)，二次函數(shù)y=ax²+bx+c取得最值-

5

4

，且函數(shù)圖象過點(diǎn)A（0，1）．
（1）求a，b，c的值；
（2）把函數(shù)y=ax²+bx+c圖象向左平移d個(gè)單位后所得函數(shù)圖象的解析式是y=ax²+x+e，試求e的值；
（3）若函數(shù)y=ax²+x+e的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A（α，0），B（β，0），且A點(diǎn)在B點(diǎn)左邊，試求2α⁴-α³+α²+3α-5的值．

Answer 1

分析：（1）由當(dāng)x=

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2

時(shí)，二次函數(shù)y=ax²+bx+c取得最值-

5

4

，即可得y=ax²+bx+c=a（x-

3

2

）²-

5

4

，又由函數(shù)圖象過點(diǎn)A（0，1），利用待定系數(shù)法即可求得此二次函數(shù)的解析式，即可求得a，b，c的值；
（2）由函數(shù)y=ax²+bx+c圖象向左平移d個(gè)單位后所得函數(shù)圖象的解析式是y=ax²+x+e，即可知平移后，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)是（

3

2

-d，-

5

4

），然后可得頂點(diǎn)式，再整理成一般式，根據(jù)多項(xiàng)式相等的知識(shí)，即可求得e的值；
（3）由函數(shù)y=ax²+x+e的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A（α，0），B（β，0），且A點(diǎn)在B點(diǎn)左邊，即可得α是方程x²+x-1=0的較小根，繼而求得：α²=1-α與α的值，然后化簡(jiǎn)2α⁴-α³+α²+3α-5，再代入α的值即可求得答案．

解答：解：（1）∵當(dāng)x=

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2

時(shí)，二次函數(shù)y=ax²+bx+c取得最值-

5

4

，
∴y=ax²+bx+c=a（x-

3

2

）²-

5

4

，
∵圖象過點(diǎn)A（0，1）得：

9

4

a-

5

4

=1．
∴a=1．…（2分）
∴y=（x-

3

2

）²-

5

4

=x²-3x+1，
∴a=1，b=-3，c=1．

（2）平移后，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)是（

3

2

-d，-

5

4

）．
函數(shù)式為：y=（x-

3

2

+d）²-

5

4

=x²+（2d-3）x+d²-3d+1，
∵函數(shù)圖象的解析式是y=ax²+x+e，
∴2d-3=1，e=d²-3d+1，
解得d=2，e=-1．

（3）∴y=ax²+x+e=x²+x-1，
∵函數(shù)y=ax²+x+e的圖象與x軸交于兩點(diǎn)A（α，0），B（β，0），且A點(diǎn)在B點(diǎn)左邊，
∴α是方程x²+x-1=0的較小根．
∴α²=1-α，且α=

-1- 5

2

． 
∴2α⁴-α³+α²+3α-5=2（1-α）²-α（1-α）+1-α+3α-5
=3a²-3a-2
=1-6a
=4+3

5

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式與一般式的轉(zhuǎn)化，點(diǎn)與函數(shù)的關(guān)系，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與整體思想的應(yīng)用．