Question

如圖（1），△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E、F分別在邊AC，BC上，∠EDP=90°，則DE與DF的數(shù)量關(guān)系為

 

．
（2）如圖（2），△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于點(diǎn)D，延長BC到點(diǎn)F，沿CA方向平移線段CF到EG，且點(diǎn)G在邊BA的延長線上，求證：DE=DF，DE⊥DF．
（3）如圖（3），△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于點(diǎn)D，延長BC到點(diǎn)F，沿CA方向平移線段CF到EG，且點(diǎn)G在邊BA延長線上．直接寫出線段DE與DF的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=CD，∠A=∠DCF=45°，根據(jù)同角的余角相等求出∠ADE=∠CDF，然后利用“角邊角”證明△ADE和△CDF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE=DF；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=CD，∠CAD=∠ACD=45°，再求出∠DAE=∠DCF=135°，根據(jù)平移的性質(zhì)可得CF=EG，CF∥EG，再求出∠AGE=∠EAG=45°，根據(jù)等角對(duì)等邊可得EG=AE，從而得到AE=CF，再利用“邊角邊”證明△ADE和△CDF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE=DF，∠ADE=∠CDF，再求出∠EDF=∠ADC；
（3）求出∠ACD=∠B=30°，然后求出

CD

AD

=

3

，再求出∠DAE=∠DCF=120°，根據(jù)平移的性質(zhì)EG=FC，再求出

CF

AE

=

3

，然后利用兩組邊對(duì)邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等，兩三角形相似求出△DAE和△DCF相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得DF=

3

DE，相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ADE=∠CDF，然后求出∠EDF=90°．

解答：（1）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB，
∴AD=CD，∠A=∠DCF=45°，
∵∠EDP=90°，
∴∠ADE+∠CDE=∠CDF+∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，

∠A=∠DCF AD=CD ∠ADE=∠CDF

，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE=DF；
故答案為：DE=DF；

（2）證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB，
∴DA=DB=DC，∠ABC=∠BAC=∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠DAE=∠DCF=135°，
由平移可知CF=EG，CF∥EG，
∴∠AGE=∠EAG=45°，
∴EG=AE，
∴AE=CF，
在△ADE和△CDF中，

AD=CD ∠DAE=∠DCF AE=CF

，
∴△DAE≌△DCF（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，
∴∠FDE=∠CDA=90°，
∴DE⊥DF，
故DE=DF，DE⊥DF；

（3）解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB，
∴∠ACD=∠B=30°，
∴

CD

AD

=

3

，∠DAE=∠DCF=120°，
由平移的性質(zhì)得，EG=FC，EG∥FC，
∴∠AGE=90°-∠GAE=90°-60°=30°，
∴

CF

AE

=

EG

AE

=

3

，
∴

CD

AD

=

CF

AE

=

3

，
又∵∠DAE=∠DCF，
∴△DAE∽△DCF，
∴

DF

DE

=

CD

AD

=

3

，∠ADE=∠CDF，
∴DF=

3

DE，∠EDF=∠ADE+∠GDF=∠CDF+∠GDF=∠ADC=90°，
故DF=

3

DE，DE⊥DF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，此類題目，（2）（3）利用相同的思路求解是解題的關(guān)鍵．