Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，點(diǎn)D為邊BC上的點(diǎn)，連接AD，∠BAD=α，點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為G，線段EG交AB于點(diǎn)F，連接AE，DE，DG，AG.

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2）求∠AGE的度數(shù)（用含α的式子表示）；

（3）用等式表示線段EG與EF，AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）60°－α；（3）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可.

根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得：AE=AG=AD. ∠EAC=∠BAC+∠BAE=30°+α，

∠EAG=2∠EAC=60°+2α，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可求出∠AGE的度數(shù).

設(shè)AC交EG于點(diǎn)H根據(jù)∠BAC=30°，∠AHF=90°，得到

又因點(diǎn)E，G關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)EG=2EH

試題解析：

（2）由軸對(duì)稱(chēng)性可知，AB為ED的垂直平分線，AC為EG的垂直平分線.

∴AE=AG=AD.

∴∠AEG=∠AGE，∠BAE=∠BAD=α,

∴∠EAC=∠BAC+∠BAE=30°+α,

∴∠EAG=2∠EAC=60°+2α,

∴

或：∠AGE=∠AEG=90°－∠EAC=90°－（∠BAC+∠EAB）=90°－（30°+α）=60°－α,

（3）EG=2EF+AF,

法1：設(shè)AC交EG于點(diǎn)H,

∵∠BAC=30°，∠AHF=90°,

∴

又∵點(diǎn)E，G關(guān)于AC對(duì)稱(chēng),

∴EG=2EH,

∴

法2：在FG上截取NG=EF，連接AN.

又∵AE=AG，

∴∠AEG=∠AGE,

∴△AEF≌△AGN,

∴AF=AN,

∵∠EAF=α，∠AEG=60°－α,

∴∠AFN=60°,

∴△AFN為等邊三角形,

∴AF=FN,

∴EG=EF+FN+NG=2EF+AF.