Question

已知：如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，點P從點B出發(fā)沿BA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，點Q從點A出發(fā)沿折線AC--CB--BA以每秒2個單位長的速度勻速運動，伴隨著P、Q的運動，PE保持平行AC，且交BC于點E．點P、Q同時出發(fā)，當點P到達點A時，P、Q兩點都停止運動，連接EQ．若設(shè)運動的時間為t（t＞0），請解答下列問題：
（1）當t=1時，PE=

 

，QC=

 

；
（2）是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由；
（3）設(shè)△AQP的面積為y，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（4）是否存在某一時刻t，使△PQE為等腰三角形？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用三角形相似和線段差就可以求出PE、QC的長．
（2）運動t秒后利用此時分得的周長相等建立等量關(guān)系，求出其t值就可．
（3）△AQP的面積是AQ乘以CE的積的一半，把AQ、EC用含t的式子表示出來就可以了．
（4）△PQE為等腰三角形分為兩種情況，當Q點在AC邊時和Q點在AB邊上時，利用相似的性質(zhì)和勾股定理可以求出對應的t值．

解答：解：（1）∵△ABC是Rt△，且AC=4，BC=3，由勾股定理得
AB=

32+42

=5
當t=1時，PB=1，AQ=2
∴QC=2
∵PE∥AC
∴△BPE∽△BAC
∴

PB

AB

=

PE

AC

∴

1

5

=

PE

4

∴PE=

4

5

（2）由題意得；
5-t+2t=t+3+4-2t
解得：t=1

（3）∵PE∥AC
∴△BPE∽△BAC
∴

PB

AB

=

BE

BC

∴

t

5

=

BE

3

∴BE=

3

5

t
∴EC=3-

3

5

t
∴y=

2t(3- 3 5 t)

2

y=-

3

5

t2+3t（0≤t≤2）
∴當2＜t≤

7

2

時
y=

(5-t)( 28 5 - 8 5 t)

2

y=

4

5

t2-

34

5

t+14

（4）由題意得：
t-（2t-7）=

4

5

t
解得：t=

35

9

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理．