Question

閱讀下面的文字，回答后面的問題：求5+5²+5³+…+5¹⁰⁰的值．
解：令S=5+5²+5³+…+5¹⁰⁰（1），將等式兩邊同時乘以5得到：5S=5²+5³+5⁴+…+5¹⁰¹（2），
（2）-（1）得：4S=5¹⁰¹-5，∴S=

5101-5

4

問題：（1）求2+2²+2³+…+2¹⁰⁰的值；（2）求4+12+36+…+4×3⁴⁰的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可S=2+2²+2³+…+2¹⁰⁰①，將等式兩邊同時乘以2得到：2S=2²+2³+…+2¹⁰¹②，由②-①即可求得答案；
（2）由4+12+36+…+4×3⁴⁰=4×（1+3+3²+3³+…+3⁴⁰），然后令S=4×（1+3+3²+3³+…+3⁴⁰）①，將等式兩邊同時乘以3得到：3S=4×（3+3²+3³+…+3⁴¹）②，由②-①即可求得答案．

解答：解：（1）令S=2+2²+2³+…+2¹⁰⁰①，
將等式兩邊同時乘以2得到：2S=2²+2³+…+2¹⁰¹②，
②-①得：S=2¹⁰¹-2；

（2）∵4+12+36+…+4×3⁴⁰=4×（1+3+3²+3³+…+3⁴⁰），
令S=4×（1+3+3²+3³+…+3⁴⁰）①，
∴將等式兩邊同時乘以3得到：3S=4×（3+3²+3³+…+3⁴¹）②，
②-①得：2S=4×（3⁴¹-1），
∴S=2×（3⁴¹-1）．

點評：此題考查了同底數冪的乘法的應用．此題難度適中，注意理解題意，掌握解題方法．