Question

已知，⊙0的直徑AB=，點(diǎn)C是⊙0上一點(diǎn)，且BC=1，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，則CD=    ．

Answer 1

【答案】分析：首先根據(jù)題意作出圖形，然后連接OD，AC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，易得四邊形CEOF是矩形，然后利用三角函數(shù)求得DE與CE的長(zhǎng)，再利用勾股定理求解，即可求得CD的長(zhǎng)；然后分析當(dāng)D在D′位置時(shí)，利用勾股定理即可求得CD′的長(zhǎng)．
解答：解：如圖，連接OD，AC，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F，
∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，
∴OD⊥AB，
∴四邊形CEOF是矩形，
∴OE=CF，CE=OF，
∵⊙0的直徑AB=，
∴∠ACB=90°，
∴AC==3
∴在Rt△ABC中，cos∠B==，sin∠B=，
在Rt△BCF中，BF=BC•cos∠B=，CF=BC•sin∠B=，
∴OF=-=，
∴CE=OF=，DE=OD-OE=OD-CF=，
在Rt△CDE中，CD==；
當(dāng)D在D′位置時(shí)，
∵都是中點(diǎn)，
∴DD′是直徑，
∴∠DCD′=90°，
∴CD′==2．
∴CD=或2．
故答案為：或2．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及矩形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類(lèi)討論思想的應(yīng)用．