Question

如圖，AC是圓O的直徑，PA切圓O于點A，弦BC∥OP，OP交圓O于點D，連接PB
（1）求證：PB是圓O的切線；
（2）若PA=3，PD=2，求圓O的半徑R的長．

Answer 1

（1）證明：連接OB，
∵OP∥BC
∴∠AOP=∠C，∠BOP=∠OBC，
∵OB=OC，
∴∠C=∠OBC，
∴∠AOP=∠BOP，
∵OA=OB，OP=OP，
∴△AOP≌△BOP，
∴∠OBP=∠OAP，
∵PA切圓O于點A，
∴∠A=90°，
∴∠OBP=90°，
即OB⊥PB，
∴PB是圓O的切線，

（2）∵PA是圓的切線，
∴OA⊥AP，
∴△AOP是直角三角形，
在Rt△AOP中，由勾股定理得，（R+2）²=R²+3²
解得．
分析：（1）若要證明PB是圓O的切線，連接OB．證OB⊥PB即可．本題通過證明△POB≌△POA得證；
（2）因為PA是圓的切線，所以OA⊥AP，所以三角形AOP是直角三角形，由勾股定理可知，（R+2）²=R²+3²，解方程求出R的值即可．
點評：此題考查了切線的性質和判定、全等三角形的判定和性質、勾股定理，綜合很性強，難度不大．