Question

如圖，AC為⊙O的直徑，AC=4，B、D分別在AC兩側的圓上，∠BAD=60°，BD與AC的交點為E．

(1)求∠BOD的度數(shù)及點O到BD的距離；

(2)若DE=2BE，求的值．

 

Answer 1

【答案】

(1)120°,1；（2）.

【解析】

試題分析：（1）作OF⊥BD于點F，連接OD，根據(jù)圓周角定理可得出∠DOB=120°，再由OB=OD=AC=2，可得出∠OBD的度數(shù)，也可得出OF的長度；

（2）設BE=2x，則可表示出DF、EF的長度，從而可解出x的值，在Rt△OEF中，利用三角函數(shù)值的知識可求出∠OED的度數(shù)，從而可得出cos∠OED的值．

試題解析：（1）作OF⊥BD于點F，

∵∠BAD=60°，

∴∠BOD=2∠BAD=120°，

又∵OB=OD，

∴∠OBD=30°，

∵AC為⊙O的直徑，AC=4，

∴OB=OD=2．

在Rt△BOF中，∵∠OFB=90°，OB=2，∠OBF=30°，

∴OF=OB=1，

即點O到BD的距離等于1．

（2）∵OB=OD，OF⊥BD于點F，

∴BF=DF．

由DE=2BE，設BE=2x，則DE=4x，BD=6x，EF=x，BF=3x．

∵BF=OB•cos30°=，

∴x＝，EF=，

在Rt△OEF中，∠OFE=90°，∵tan∠OED=，

∴∠OED=60°，cos∠OED=.

考點: 圓的綜合題.