Question

如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD，垂足為E，DA平分∠BDE．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）若AE=2，DE=1cm，求BD的長．

Answer 1

分析：（1）證明OA⊥AE就能得到AE是⊙O的切線；
（2）通過證明Rt△BAD∽Rt△AED，再利用對應(yīng)邊成比例關(guān)系從而求出⊙O半徑的長．

解答：（1）證明：連接OA．
∵AO=DO，
∴∠OAD=∠ODA．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA=∠EDA，
∴∠OAD=∠EDA．
∵∠EAD+∠EDA=90°，
∴∠EAD+∠OAD=90°，即∠OAE=90°．
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O的切線．

（2）解：在直角△ADE中，AD=

AE2+DE2

=

5

cm．
∵BD是⊙O的直徑，
∴∠BAD=90°，
∵∠AED=90°，∠ADE=∠ADB，
∴Rt△BAD∽Rt△AED．
∴

DE

AD

=

AD

BD

．
∴BD=

AD2

DE

=

5

1

=5cm．

點評：主要考查學(xué)生對相似三角形的判定及性質(zhì)的運用，及切線的求法等知識點的掌握情況．