Question

【題目】如圖1，直線(xiàn)l : 經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P，交x、y軸于A、B兩點(diǎn).

（1）如圖1，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)__________________；

（2）如圖2，當(dāng)k=—1時(shí)，點(diǎn)C為y軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥PC交x軸于點(diǎn)D，M、N分別為CD、OA的中點(diǎn)，求的值；

（3）如圖3，E、F兩點(diǎn)在射線(xiàn)OP上移動(dòng)，EF=，點(diǎn)E向上移動(dòng)2個(gè)單位得到點(diǎn)G，點(diǎn)E橫坐標(biāo)為 t（t>0），在x軸負(fù)半軸上有點(diǎn)H（—2t，0），FG與HE相交于Q點(diǎn)，求證：點(diǎn)Q在某條直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，并求此直線(xiàn)的解析式.

Answer 1

【答案】（1）（2，2）；（2）；（3）點(diǎn)Q在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng).

【解析】

（1）將直線(xiàn)l解析式變形可得到定點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）過(guò)點(diǎn)P作EF∥x軸，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥EF垂足為F，首先證明△EPC≌△FDP，設(shè)C（0，m），則PF=CE=2-m，易得D（4-m，0），然后根據(jù)k=-1求出A點(diǎn)坐標(biāo)，可得AD=-m，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩點(diǎn)間距離公式求出MN，問(wèn)題得解；

（3）如圖3，延長(zhǎng)GE交x軸于點(diǎn)J，則GJ⊥x軸，過(guò)點(diǎn)F作FK⊥GJ于點(diǎn)K，由OP所以直線(xiàn)解析式為y=x，可求得F點(diǎn)、G點(diǎn)坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)HE和直線(xiàn)FG解析式，求出交點(diǎn)Q的坐標(biāo)，即可解得點(diǎn)Q在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng).

解：（1）∵，

∴當(dāng)x=2時(shí)，y=2，

∴定點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2，2）；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作EF∥x軸，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥EF垂足為F，

∵P（2，2），∴PE=OE=DF=2，

∵PD⊥PC，

∴∠EPC+∠FPD=90°，

∵∠EPC+∠ECP=90°，

∴∠FPD=∠ECP，

在△EPC和△FDP中， ，

∴△EPC≌△FDP（AAS），

∴PF=CE，

設(shè)C（0，m），則PF=CE=2-m，

∴OD=PE+PF=4-m，

∴D（4-m，0），

當(dāng)k=-1時(shí)，直線(xiàn)l解析式為：，

∴A（4,0），AD=-m，

∵M、N分別為CD、OA的中點(diǎn)，

∴M(，)，N（2,0），

∴MN=，

∴；

（3）如圖3，延長(zhǎng)GE交x軸于點(diǎn)J，則GJ⊥x軸，過(guò)點(diǎn)F作FK⊥GJ于點(diǎn)K，

∵E、F兩點(diǎn)在射線(xiàn)OP上移動(dòng)且P（2，2），

∴OP所以直線(xiàn)解析式為：y=x，

∴∠EOJ=∠EFK =45°，

∵EF=，

∴EK=FK=EG=2，

∵E（t,t），

∴G（t，t+2），F（t-2，t-2），

設(shè)直線(xiàn)HE解析式為：y=kx+b（k≠0），

將點(diǎn)E（t,t），H（-2t,0）代入可得：，

解得：，

∴直線(xiàn)HE解析式為：y=x+，

設(shè)直線(xiàn)FG解析式為：y=k1x+b1（k≠0），

將點(diǎn) G（t，t+2），F（t-2，t-2）代入可得：，

解得：，

∴直線(xiàn)FG解析式為：y=2x+2-t，

聯(lián)立 ，解得：，

即Q(，)，

∵，

∴點(diǎn)Q在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng).