Question

【題目】如圖1，二次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0,1），點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，點(diǎn)C是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，點(diǎn)M是一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與x軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為N，且S△AMO：S四邊形AONB=1：48.

（1）求直線AB和直線BC的解析式；

（2）點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)D是線段BC上一點(diǎn)，PD//x軸，射線PD與拋物線交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F，當(dāng)PF與PE的乘積最大時(shí)，在線段AB上找一點(diǎn)H（不與點(diǎn)A，點(diǎn)B重合），使GH+BH的值最小，求點(diǎn)H的坐標(biāo)和GH+BH的最小值；

（3）如圖2，直線AB上有一點(diǎn)K（3,4），將二次函數(shù)沿直線BC平移，平移的距離是t（t≥0），平移后拋物線使點(diǎn)A，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A’，點(diǎn)C’；當(dāng)△A’C’K是直角三角形時(shí)，求t的值。

Answer 1

【答案】（1）=x+1；=2x-5；（2）H（5,6）；7.5；（3）t=0或t=4或t=

【解析】

試題分析：（1）首先得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，根據(jù)△AMO和四邊形AONB的面積之比得出△AMO和△BMN的面積之比，從而得出BN=7，然后求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，得出直線AB和直線BC的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)P（x0,x0+1），則D（，x0+1），PE=x0+1，PD=3-0.5x0，根據(jù)△PDF∽△BGN得出PE·PF最大時(shí)，PE·PD也最大，然后得出PE·PD的函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得出點(diǎn)G的坐標(biāo)，根據(jù)△MNB是等腰直角三角形，過(guò)B作x軸的平行線，則BH=B1H，從而得出答案；（3）令直線BC與x軸交于點(diǎn)I，則I（2.5,0）于是IN=3.5，IN：BN=1:2，則沿直線BC平移時(shí)，橫坐標(biāo)平移m時(shí)，縱坐標(biāo)則平移2m，平移后A’（m,1+2m）,C’（2+m,-1+2m），然后根據(jù)當(dāng)∠A’KC’=90°，當(dāng)∠KC’A’=90°和當(dāng)∠KA’C’=90°三種情況，分別利用勾股定理得出答案.

試題解析：（1）C（2，-1）. 由S△AMO：S四邊形AONB=1：48，可得由S△AMO：S△BMN=1：49，

所有BN=7，帶入二次函數(shù)解析式可得B（6,7）。 所以=x+1；=2x-5.

（2）設(shè)點(diǎn)P（x0,x0+1），則D（，x0+1），則PE=x0+1，PD=3-0.5x0，

由于△PDF∽△BGN，所以PF:PD的值固定，于是PE·PF最大時(shí)，PE·PD也最大，

PE·PD=（x0+1）（3-0.5x0）=，所以當(dāng)x0=2.5時(shí)，PE·PD最大，即PE·PF最大。

此時(shí)G（5,3.5）

可得△MNB是等腰直角三角形，過(guò)B作x軸的平行線，則BH=B1H，

GH+BH的最小值轉(zhuǎn)化為求GH+HB1的最小值，

所以當(dāng)GH和HB1在一條直線上時(shí)，GH+HB1的值最小，此時(shí)H（5,6），最小值為7-3.5=3.5

（3）令直線BC與x軸交于點(diǎn)I，則I（2.5,0）于是IN=3.5，IN：BN=1:2，

所以沿直線BC平移時(shí)，橫坐標(biāo)平移m時(shí)，縱坐標(biāo)則平移2m，平移后A’（m,1+2m）,C’（2+m,-1+2m），

則A’C’2=8,A’K2=5m2-18m+18,C’K2=5m2-22m+26，

①、當(dāng)∠A’KC’=90°時(shí)，A’K2+KC’2=A’C’2，解得m=，此時(shí)t=;

②、當(dāng)∠KC’A’=90°時(shí)，KC’2+A’C’2=A’K2，解得m=4,此時(shí)t=;

③、當(dāng)∠KA’C’=90°時(shí)，A’C’2+A’K2=KC’2，解得m=0,此時(shí)t=0

綜上所述：t=0或t=4或t=