Question

如圖所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=15，AD=20，∠C=30°．點M、N同時以相同的速度分別從點A、點D開始在AB、DA上向點B、點A運動．
（1）設ND的長為x，用x表示出點N到AB的距離；
（2）當五邊形BCDNM面積最小時，請判斷△AMN的形狀．

Answer 1

（1）過點N作BA的垂線NP，交BA的延長線于點P．
由已知得，AM=x，AN=20-x．
∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AD=BC，
∴∠D=∠C=30°．
∴∠PAN=∠D=30°．
在Rt△APN中，PN=AN•sin∠PAN=

1

2

（20-x）．
即點N到AB的距離為

1

2

(20-x)．

（2）根據(jù)（1）S_△AMN=

1

2

AM•NP=

1

4

x（20-x）=-

1

4

x2+5x．
∵-

1

4

＜0，
∴當x=10時，S_△AMN有最大值．
又∵S_{五邊形BCDNM}=S_梯形-S_△AMN，且S_梯形為定值，
∴當x=10時，五邊形BCDNM面積最�。�此時，ND=AM=10，AN=AD-ND=10，
∴AM=AN．
∴當五邊形BCDNM面積最小時，△AMN為等腰三角形．