Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為E．
（1）求拋物線(xiàn)解析式及頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)E作BC平行線(xiàn)，交x軸于點(diǎn)F，在不添加線(xiàn)和字母情況下，圖中面積相等的三角形有：______；
（3）將拋物線(xiàn)向下平移，與x軸交于點(diǎn)M、N，與y軸的正半軸交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)為Q．在四邊形MNQP中滿(mǎn)足S_△NPQ=S_△MNP，求此時(shí)直線(xiàn)PN的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接運(yùn)用待定系數(shù)法將A（-1，0）、B（3，0）代入y=-x²+bx+c就可以求出解析式，然后化為頂點(diǎn)式就可以求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)兩平行線(xiàn)間的距離相等就可以得出△BCF與△BCE的高與底相等；
（3）根據(jù)平移可以得出對(duì)稱(chēng)軸不變?yōu)閤=1，就可以求出b的值為2，可以設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²+2x+c（c＞0）．可以分別表示出P、Q的坐標(biāo)，求出OP、DQ的值，當(dāng)y=0時(shí)可以求出x的值，表示出M、N坐標(biāo)及MN的長(zhǎng)度，
過(guò)點(diǎn)Q作QG∥PN與x軸交于點(diǎn)G，連接NG，可以得出S_△MNP=S_△PNG．由條件得出Rt△QDG∽R(shí)t△PON，由相似三角形的性質(zhì)就可以求出c的值，從而求出P、N的坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法就可以求出直線(xiàn)PN的解析式．
解答：解：（1）將A（-1，0）、B（3，0）代入y=-x²+bx+c的得
，
解得：

∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²+2x+3，
即y=-（x-1）²+4．
∴拋物線(xiàn)頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，4）；

（2）∵EF∥BC，
∴△BCF與△BCE的BC邊上的高相等，
S_△BCF=S_△BCE．

（3）將拋物線(xiàn)向下平移，則頂點(diǎn)Q在對(duì)稱(chēng)軸x=1上，
∴-=1，
∴-=1，
∴b=2，
設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²+2x+c（c＞0）．
∴此時(shí)，拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為P（0，c），頂點(diǎn)為Q（1，1+c）．
∴OP=c，DQ=1+c．
∵y=0時(shí)
∴-x²+2x+c=0，
∴，，
∴，．
如圖，過(guò)點(diǎn)Q作QG∥PN與x軸交于點(diǎn)G，連接NG，則S_△PNG=S_△PNQ．
∵S_△NPQ=S_△MNP，
∴S_△MNP=S_△PNG．
∴．
設(shè)對(duì)稱(chēng)軸x=1與x軸交于點(diǎn)D，
∴．
∵QG∥PN，
∴∠PND=∠QGD．
∴Rt△QDG∽R(shí)t△PON．
∴．
∴．
 ．
∴點(diǎn)，．
設(shè)直線(xiàn)PN的解析式為y=mx+n，將P，N兩點(diǎn)代入，得
，
解得：
∴直線(xiàn)PN的解析式為 ．
故答案為：△BCF與△BCE．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)式的運(yùn)用，等底等高的三角形的面積關(guān)系的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，在解答時(shí)尋找相似三角形，運(yùn)用其性質(zhì)求c的值是解答本題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．