Question

如圖，矩形ABCD中，E為DC的中點，AD: AB= :2，CP:BP=1:2，連接EP并延長，交AB的延長線于點F，AP、BE相交于點O．下列結論：①EP平分∠CEB；②△EBP∽△EFB；③△ABP∽△ECP；④AOAP=OB²．其中正確的序號是_______________．（把你認為正確的序號都填上）

Answer 1

①②③

解析試題分析：由條件設AD=x，AB=2x，就可以表示出CP=x，BP=x，用三角函數(shù)值可以求出∠EBC的度數(shù)和∠CEP的度數(shù)，就可以求出∠CEP=∠BEP，運用勾股定理及三角函數(shù)值就可以求出就可以求出BF、EF的值，從而可以求出結論．
設AD=x，AB=2x，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，CD=AB，∠D=∠C=∠ABC=90°．DC∥AB，
∴BC=x，CD=2x，
∵CP：BP=1：2，
∴CP=x，BP=x
∵E為DC的中點，
∴CE=CD=x，

∴∠CEP=30°，∠EBC=30°，
∴∠CEB=60°，
∴∠PEB=30°，
∴∠CEP=∠PEB，
∴EP平分∠CEB，故①正確；
∵DC∥AB，
∴∠CEP=∠F=30°，
∴∠F=∠EBP=30°，∠F=BEF=30°，
∴△EBP∽△EFB，

∴BE．BF=BP．EF．
∵∠F=BEF，
∴BE=BF，
∴BF²=PB•EF
∴△ABP∽△ECP
則正確的序號是①②③.
考點：矩形的性質，相似三角形的判定及性質，特殊角的正切值，勾股定理，直角三角形的性質
點評：本題綜合性強，難度較大，是中考常見題，學生需熟練掌握平面圖形的基本性質.