Question

【題目】四邊形 ABCD 中，∠A＝∠B= 90°，點(diǎn) E 在邊 AB 上，點(diǎn) F 在 AD 的延長(zhǎng)線上，且 點(diǎn) E 與點(diǎn) F 關(guān)于直線 CD 對(duì)稱，過點(diǎn) E 作 EG∥AF 交 CD 于點(diǎn) G，連接 FG，DE．

（1）求證：四邊形 DEGF 是菱形；

（2）若 AB＝10，AF＝BC=8，求四邊形 DEGF 的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）20.

【解析】

（1）連接EF，由對(duì)稱的性質(zhì)可得DE＝DF，GE＝GF，求出∠EDG＝∠EGD，得到DE＝GE，進(jìn)而得到DE＝DF＝GE＝GF即可；

（2）連接CF，CE，易證四邊形ABCF是矩形，可得CE＝CF＝AB＝10，利用勾股定理求出BE，得到AE的長(zhǎng)，DF＝DE＝x，則AD＝8－x，在Rt△ADE中，利用勾股定理構(gòu)建方程求出DF即可解決問題．

解：（1）連接EF，

∵點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于直線 CD 對(duì)稱，

∴CD是EF的垂直平分線，

∴DE＝DF，GE＝GF，∠EDG＝∠FDG，

∵EG∥AF，

∴∠FDG＝∠EGD，

∴∠EDG＝∠EGD，

∴DE＝GE，

∴DE＝DF＝GE＝GF，

∴四邊形DEGF是菱形；

（2）連接CF，CE，

∵∠A＝∠B＝90°，

∴∠A＋∠B＝180°，

∴AF∥BC，

又∵AF＝BC＝8，

∴四邊形ABCF是矩形，

∴CF＝AB＝10，

∵CD是EF的垂直平分線，

∴CE＝CF＝10，

∴BE＝，

∴AE＝10－6＝4，

設(shè)DF＝DE＝x，則AD＝8－x，

在Rt△ADE中，由勾股定理得：，

解得：x＝5，即DF＝5，

∴四邊形DEGF的面積＝DF·AE＝5×4＝20．