Question

（2003•陜西）如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（，0）為圓心，以為半徑的圓與x軸交于B、C兩點(diǎn)，與y軸交于D、E兩點(diǎn)．
（1）求D點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）若B、C、D三點(diǎn)在拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c上，求這個(gè)拋物線(xiàn)的解析式．
（3）若⊙A的切線(xiàn)交x軸正半軸于點(diǎn)M，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)N，切點(diǎn)為P，∠OMN=30°，試判斷直線(xiàn)MN是否經(jīng)過(guò)所求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)？說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AD，構(gòu)造直角三角形解答，在直角△ADO中，OA=，AD=2，根據(jù)勾股定理就可以求出AD的長(zhǎng)，求出D的坐標(biāo)．
（2）求出B、C、D的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法設(shè)出一般式解答；
（3）求出拋物線(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo)，連接AP，則△APM是直角三角形，且AP等于圓的半徑，根據(jù)三角函數(shù)就可以求出AM的長(zhǎng)，已知OA，就可以得到OM，則M點(diǎn)的坐標(biāo)可以求出；同理可以在直角△BNM中，根據(jù)三角函數(shù)求出BN的長(zhǎng)，求出N的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出直線(xiàn)MN的解析式．將交點(diǎn)坐標(biāo)代入直線(xiàn)解析式驗(yàn)證即可．
解答：解：（1）連接AD，得
OA=，AD=2
∴OD===3
∴D（0，-3）．

（2）由B（-，0），C（3，0），D（0，-3）三點(diǎn)在拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c上，
得，
解得
∴拋物線(xiàn)為．

（3）連接AP，在Rt△APM中，∠PMA=30°，AP=2
∴AM=4
∴M（5，0）
∵
∴N（0，-5）
設(shè)直線(xiàn)MN的解析式為y=kx+b，由于點(diǎn)M（5，0）和N（0，-5）在直線(xiàn)MN上，
則，
解得
∴直線(xiàn)MN的解析式為
∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，-4），
當(dāng)x=時(shí)，y=
∴點(diǎn)（，-4）在直線(xiàn)上，
即直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：此題將用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和圓以及存在性問(wèn)題相結(jié)合，考查了同學(xué)們的實(shí)際應(yīng)用能力，有一定難度．