Question

（2013•哈爾濱）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面積為5，則sin∠BOE的值為

3

5

．

Answer 1

分析：由題意可知，OE為對(duì)角線AC的中垂線，則CE=AE=5，S_△AEC=2S_△AOE=10，由S_△AEC求出線段AE的長(zhǎng)度，進(jìn)而在Rt△BCE中，由勾股定理求出線段BE的長(zhǎng)度；然后證明∠BOE=∠BCE，從而可求得結(jié)果．

解答：解：如圖，連接EC．
由題意可得，OE為對(duì)角線AC的垂直平分線，
∴CE=AE，S_△AOE=S_△COE=5，
∴S_△AEC=2S_△AOE=10．
∴

1

2

AE•BC=10，又BC=4，
∴AE=5，
∴EC=5．
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE=

CE2-BC2

=

52-42

=3．
∵∠EBC+∠EOC=90°+90°=180°，
∴B、C、O、E四點(diǎn)共圓，
∴∠BOE=∠BCE．
（另解：∵∠AEO+∠EAO=90°，∠AEO=∠BOE+∠ABO，
∴∠BOE+∠ABO+∠EAO=90°，又∠ABO=90°-∠OBC=90°-（∠BCE+∠ECO）
∴∠BOE+（90°-（∠BCE+∠ECO））+∠EAO=90°，
化簡(jiǎn)得：∠BOE-∠BCE-∠ECO+∠EAO=0
∵OE為AC中垂線，
∴∠EAO=∠ECO．
代入上式得：∠BOE=∠BCE．）
∴sin∠BOE=sin∠BCE=

3

5

．
故答案為：

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題是幾何綜合題，考查了矩形性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、圓周角、三角函數(shù)的定義等知識(shí)點(diǎn)，有一定的難度．解題要點(diǎn)有兩個(gè)：（1）求出線段AE的長(zhǎng)度；（2）證明∠BOE=∠BCE．