Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α．（0°＜α＜90°）得到△A₁B₁C，連接BB₁，設(shè)CB₁交AB于D，A_lB₁分別交AB，AC于E，F(xiàn)．
（1）在圖中不再添加其它任何線段的情況下，除了△ABC≌△A₁B₁C，還有其他三對(duì)全等的三角形，請(qǐng)你全部寫出來(lái)（不用證明）；
（2）當(dāng)BB₁=BD時(shí)，求α度數(shù)；
（3）設(shè)BD=x，△ACD的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)∠α=∠ACA₁，又由A₁C=B₁C，∠A₁=∠ABC=45°我們可得出三角形A₁FC和CBD全等．
三角形ACD和三角形B₁CF中，B₁C=BC=AC，∠A=∠CB₁F，又有一公共角因此構(gòu)成了兩三角形全等中的ASA，兩三角形就全等了．
三角形AFE和B₁DE中，已知的有∠A=∠CB₁F=45°，一組對(duì)頂角相等，那么只要得出一組對(duì)應(yīng)邊相等即可得出全等的結(jié)論．
由上面的△ACD≌△B₁CF可得出CF=CD，因?yàn)锳C=B₁C，那么AF=B₁D因此就湊齊了三角形全等的條件，兩三角形全等．
（2）BB₁=BD我們可得出∠BB₁D=∠BDB₁，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)我們知道CB₁=CB，那么∠B₁BC=∠BB₁C，∵∠B1DB=∠α+45°，
∠B₁BC=∠B₁BD+45°，∠B₁BC=∠BB₁C，因此∠B₁BD=∠α，三角形B₁BD中，
由三角形ACB是等腰直角三角形我們可得出，∠ABC=45°，因此∠B₁DB=∠B₁DB=∠α+45°，因此∠α+∠α+45+∠α+45=180，
∠α=30°
（3）可通過(guò)構(gòu)建直角三角形來(lái)求解，作CM⊥AB，垂足為M，直角三角形ABC中，有直角邊的值我們不難求出斜邊AB的長(zhǎng)，有了AB的值，我們就能用x表示出AD的長(zhǎng)，現(xiàn)在的關(guān)鍵是找出AD邊上的高CM的值．直角三角形ACM中，∠A=45°，有斜邊AC的長(zhǎng)，AD的高就可以求出了，那么根據(jù)三角形的面積公式，我們就能寫出關(guān)于x，y的函數(shù)關(guān)系式了．
解答：解：（1）△DBC≌△FA₁C，△ACD≌△B₁CF，△AFE≌△B₁DE；

（2）∵∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴∠A=∠ABC=45°，
∵BB₁=BD，
∴∠BDB₁=∠BB₁D，
∵CB=CB₁，
∴∠CBB₁=∠CB₁B，
又∵∠BDB₁=∠DCB+∠DBC=α+45°，
∴∠CBB₁=∠CB₁B=∠BDB₁=α+45°，
又∵∠CBB₁+∠CB₁B+∠B₁CB=180°，
∴3α+90°=180°，
∴α=30°；

（3）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴，
作CM⊥AB，垂足為M，
則AM=BM，
∴CM==，
∵BD=x，
∴AD=AB-BD=，
∴△ACD的面積y=
=
=
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是全等三角形的判定，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．本題中旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的利用可以幫我們得出很多關(guān)于全等三角形的判定的條件．