Question

如圖，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=11，BC=13，AB=12．動點P、Q分別在邊AD和BC上，且BQ=2DP．線段PQ與BD相交于點E，過點E作EF∥BC，交CD于點F，射線PF交BC的延長線于點G，設DP=x．
（1）求

DF

CF

的值．
（2）當點P運動時，試探究四邊形EFGQ的面積是否會發(fā)生變化？如果發(fā)生變化，請用x的代數式表示四邊形EFGQ的面積S；如果不發(fā)生變化，請求出這個四邊形的面積S．
（3）當△PQG是以線段PQ為腰的等腰三角形時，求x的值．

Answer 1

分析：（1）由平行線分線段成比例即可求解其比值；
（2）點P在AD上運動時，由平行線分線段成比例的性質可得EF與QG的比例始終是1：3，且BQ=CG，所以其面積為定值，進而求出其面積即可；
（3）以線段PQ為腰，則可能是PQ=PG，也可能是PQ=QG，所以分開求解即可．

解答：解：（1）在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∴

DE

BE

=

DP

BQ

．
∵EF∥BC，∴

DE

BE

=

DF

CF

．
又∵BQ=2DP，∴

DF

CF

=

1

2

．

（2）不發(fā)生變化．
作EM⊥BC，垂足為點M，
在△BCD中，
∵EF∥BC，
∴

EF

BC

=

DE

DB

=

1

3

．
而BC=13，
∴EF=

13

3

．
又∵PD∥CG，
∴

PD

CG

=

DF

CF

=

1

2

．
∴CG=2PD．
∴CG=BQ，即QG=BC=13．
作DN⊥BC，垂足為點N．
∴

EM

DN

=

BE

BD

=

EM

AB

=

2

3

，
而AB=12，
∴可求得EM=8．
∴S=

1

2

×(

13

3

+13)×8=

208

3

．

（3）作PH⊥BC，垂足為點H．
（i）當PQ=PG時，QH=GH=

13

2

．
∴2x+

13

2

=11-x．
解得x=

3

2

．
（ii）當PQ=GQ時，PQ=

(11-3x)2+122

=13．
解得x=2或x=

16

3

．
綜上所述，當△PQG是以PQ為腰的等腰三角形時，x的值為

3

2

、2或

16

3

．

點評：本題主要考查了平行線分線段成比例的性質以及梯形的面積的求解和等腰三角形的判定問題，能夠利用所學知識熟練求解．