Question

等邊△AOB在平面直角坐標系中（圖1），已知點A（2，0），將△AOB繞著點O順時針方向旋轉的角度為α（0°＜α＜360°）得到△OA₁B₁

（1）直接寫出點B的坐標______

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)A點坐標可知，正三角形的邊長是2，過B作x軸的垂線，根據(jù)三角函數(shù)即可求得；
（2）陰影部分的面積=S_△OAN-S_△QAM，而這兩個三角形的面積很容易得到；
（3）當A₁，B₁的縱坐標相同時，A₁B₁∥x軸，a₁=120°或a₂=300°；
（4）可以證明PA=PB₁，即方程x²-mx+m=0的兩個相等實數(shù)根，根據(jù)根的判別式即可求得m的值，從而求得PA，PB₁的長，得到P的坐標．
解答：解：（1）B的坐標是（1，）；

（2）圖2中的陰影部分的面積=S_△OAN-S_△QAM=×1×-××（2-）²=6-3；

（3）∵當A₁，B₁的縱坐標相同時，A₁B₁∥x軸，
∴a₁=120°或a₂=300°；

（4）連接AB₁，
∵OA=OB₁=2，
∴∠OAB₁=∠0B₁A，
∴∠PB₁G=∠B₁AH，
又∵∠PAB₁=180°-60°-∠B₁AH=120°-∠B₁AH，
∠PB₁A=180°-60°-∠AB₁G=120°-∠AB₁G，
∴∠PAB₁=∠PB₁A，
∴PA=PB₁（6分）
∴方程x²-mx+m=0的兩個相等實數(shù)根，
∴△=（-m）²-4m=0，
解得：m₁=0（舍去），m₂=4，
方程為：x²-4x+4=0，
解得：x₁=x₂=2，
∴PA=PB₁=2，
在直角△APM中，PM=AP•sin60°=2×=，
AM=AP•cos60°=1，則OM=OA-AM=3-1=2．
∴P點坐標為（3，-）．
故答案為：（1）（1，）；（2）6-3；（3）120°或300°
點評：本題綜合運用了平行于x軸的點的坐標的關系，涉及的知識有：坐標與圖形性質，銳角三角函數(shù)定義，一元二次方程的根的判別式，題目難度較大．