Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)F，E為AC的中點(diǎn)，連接FE．
﹙1﹚求證：FE是⊙O的切線；
﹙2﹚探究線段AC，AF，AB三者之間的數(shù)量關(guān)系；并證明．
﹙3﹚連接OE，若四邊形OEFB是平行四邊形，求sin∠ABE的值．

Answer 1

解：（1）證明：連接OF，F(xiàn)C．
∵AB是直徑，
∴∠BFC=90°，
∴∠AFC=90°．
又∵E是AB的中點(diǎn)，
∴EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF，
∵OF=OC，
∴∠OFC=∠OCF，
∴∠OFE=∠OFC+∠EFC=∠ECF+∠FCO=∠ACB=90°．
∴OF⊥EF，
∴EF是⊙O的切線；

（2）AC²=AF•AB
證明：∵直角△ABC中，CF⊥AB，
∴△ACF∽△ABC
∴=，
∴AC²=AF•AB

（3）連接CF，BE．
∵四邊形OEFB是平行四邊形，
∴EF∥BC，
又∵E是AC的中點(diǎn)，
∴AF=BF，
∵CF⊥AB
∴AC=CB
則△ABC是等腰直角三角形．
作EM⊥AB于M．則△AEM是等腰直角三角形．
設(shè)AC=2a，則BC=2a，AE=EC=a．
∴EM=AE=a，
在直角△BCE中，BE==a．
∴sin∠ABE===．
分析：（1）連接OF，F(xiàn)C，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明∠EFO=∠ACB即可證得；
（2）AC²=AF•AB，利用直角三角形的性質(zhì)可以證得：△ACF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可證得；
（3）連接BE，作EM⊥AB，則sin∠ABE=，易證得△ABC和△AEM都是等腰直角三角形，可以設(shè)AC=2a，則BE、ME都可以利用a，表示出來，從而求解．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的切線的判定定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，注意得到△ABC和△AEM都是等腰直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．