Question

附加題
（1）分式

1

2x2-x+4

的最大值為

8

31

．
（2）若分式

x2-4a2

x+3

的值為0，則x的值為

x=±2a，且x≠-3

．
（3）關(guān)于x的方程

x-a

x-1

-

3

x

=1無解，則a的值為

-2或1

．
（4）已知

1

4

(b-c)2=(a-b)(c-a)且a≠0，則

b+c

a

的值為

2

．

Answer 1

分析：（1）將分式的分母配方后，根據(jù)完全平方式的最小值為0，求出分母的最小值，即可得到原式的最大值；
（2）根據(jù)分式值為0的條件是分母不為0，分子等于0，即可得到x的值；
（3）找出分式方程的最簡公分母，去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出x的值，由原方程無解，得到分式方程的最簡公分母為0，求出分式方程最簡公分母為0時(shí)x的值，令其值等于表示出的x的解即可得到a的值，再由表示出的x的值無意義可得此時(shí)a的值，綜上，即可得到原方程無解時(shí)a的值；
（4）根據(jù)題意利用添項(xiàng)法在原式兩邊同時(shí)加上bc，整理后，根據(jù)a不為0，在方程兩邊同時(shí)除以a²后，等式可化為完全平方式等于0的形式，利用完全平方式的非負(fù)性，即可得到平方的底數(shù)為0，得出答案．

解答：解：（1）∵2x²-x+4=2（x²-

1

2

x）+4=2（x²-

1

2

x+

1

16

）+4-

1

8

=2（x-

1

4

）²+

31

8

，
∴當(dāng)x=

1

4

時(shí)，2x²-x+4有最小值，最小值為

31

8

，
則分式

1

2x2-x+4

的最大值為

8

31

；
（2）∵分式

x2-4a2

x+3

的值為0，
∴

x+3≠0 x2-4a2=0

，解得x=±2a，且x≠-3，
則x的值為x=±2a，且x≠-3；
（3）

x-a

x-1

-

3

x

=1，
方程兩邊同時(shí)乘以最簡公分母x（x-1）得：
x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），
x²-ax-3x+3=x²-x，
整理得：（2+a）x=3，
解得：x=

3

2+a

，
∵此分式方程無解，∴x=0或1，
若

3

2+a

無意義，即a=-2，方程無解；
若

3

2+a

=1，解得：a=1，方程無解，
則a=-2或1時(shí)，原方程無解；
（4）

1

4

(b-c)2=(a-b)(c-a)
兩邊同時(shí)加上bc得：

1

4

(b-c)2+bc=(a-b)(c-a)+bc，
化簡得：4a²-4a（b+c）+（b+c）²=0，
由a≠0，兩邊同時(shí)除以a²得：4-4

b+c

a

+

(b+c)2

a2

=0，
即(2-

b+c

a

)2=0，
所以

b+c

a

=2．
故答案為：

8

31

；x=±2a，且x≠-3；-2或1；2

點(diǎn)評(píng)：此題考查了配方法的應(yīng)用，分式值為0滿足的條件，分式方程無解的條件，以及分式的化簡求值，是一道多知識(shí)點(diǎn)的綜合題，要求學(xué)生掌握知識(shí)要全面系統(tǒng)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．本題的第4小題技巧性比較強(qiáng)，兩邊同時(shí)加上bc，然后在等式兩邊同時(shí)除以a²，把等式變?yōu)橥耆�平方式等�?是解題的關(guān)鍵．