Question

△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P是BC邊上一點，作∠BPE=∠BCA，交AB于點E，過點B作BD⊥PE，垂足為D，交CA的延長線于點F．
（1）當(dāng)點P與點C重合時（如圖①）．求證：△ABF≌△APE；
（2）通過觀察、測量、猜想：=______，并結(jié)合圖②證明你的猜想；
（3）若把條件“AB=AC”改為AB=mAC，其他條件不變（如圖③），求的值．（用含m的式子表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)∠BAC=90°，BD⊥PE，可知∠APE=∠FBA，根據(jù)ASA定理即可得出結(jié)論；
（2）過P作PQ∥CA交AB于G，交BF于Q，根據(jù)∠BPE=∠BCA可知∠BPE=∠BCA=∠BPQ，再根據(jù)BD⊥PE，可得△BPQ是等腰三角形，所以BD=BQ，由全等三角形的判定定理可知△BGQ≌△PGE，所以PE=BQ，故可得出結(jié)論；
（3）同（2）可得△BGQ∽△PGE，所以===m，再由BD=BQ即可得出結(jié)論．
解答：（1）證明：∵∠BAC=90°，BD⊥PE
∴∠APE=∠FBA
∵在Rt△ABF與Rt△APE中，

∴△ABF≌△APE（ASA）；

（2）解：=．理由如下：
過P作PQ∥CA交AB于G，交BF于Q．
∵∠BPE=∠BCA，
∴∠BPE=∠BCA=∠BPQ，
∵BD⊥PE，
∴△BPQ是等腰三角形，
∴BD=BQ，
∵PQ∥AC，BA⊥AC，
∴BA⊥PQ，
∵AB=AC，
∴PG=BG，
∵∠DBE+∠DEB=90°，∠DEB=∠GEP，∠GEP+∠GPE=90°，
∴∠DBE=∠GPE，
∵在△BGQ與△PGE中，
，
∴△BGQ≌△PGE（ASA），
∴PE=BQ，
∴=．
故答案為：；

（3）解：∵同（2）可得△BGQ∽△PGE，
∴===m，
∵BD=BQ，
∴=m．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形三線合一的性質(zhì)等知識，難度適中．