Question

【題目】如圖，對(duì)稱軸為直線x＝1的拋物線經(jīng)過A（﹣1，0）、C（0，3）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，點(diǎn)D在y軸上，且OB＝3OD

（1）求該拋物線的表達(dá)式；

（2）設(shè)該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t

①當(dāng)0＜t＜3時(shí)，求四邊形CDBP的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；

②點(diǎn)Q在直線BC上，若以CD為邊，點(diǎn)C、D、Q、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3（2）①t＝時(shí)，S的最大值為②P（1，4）或（2，3）或（，）或（，）

【解析】

(1)設(shè)所求拋物線的表達(dá)式為 y＝a(x+1)(x﹣3)，把點(diǎn)C(0，3)代入表達(dá)式，即可求解；

(2)①設(shè)P(t，﹣t2+2t+3)，則E(t，﹣t+3)，S四邊形CDBP＝S△BCD+S△BPC＝CDOB+PEOB，即可求解；

②分點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方、下方兩種情況討論即可求解．

(1)∵拋物線的對(duì)稱軸為x＝1，A(﹣1，0)，

∴B(3，0)．

∴設(shè)所求拋物線的表達(dá)式為 y＝a(x+1)(x﹣3)，

把點(diǎn)C(0，3)代入，得3＝a(0+1)(0﹣3)，

解得a＝﹣1，

∴所求拋物線的表達(dá)式為y＝﹣(x+1)(x﹣3)，即y＝﹣x2+2x+3；

(2)①連結(jié)BC．

∵B(3，0)，C(0，3)，

∴直線BC的表達(dá)式為y＝﹣x+3，

∵OB＝3OD，OB＝OC＝3，

∴OD＝1，CD＝2，

過點(diǎn)P作PE∥y軸，交BC于點(diǎn)E(如圖1)．

設(shè)P(t，﹣t2+2t+3)，則E(t，﹣t+3)．

∴PE＝﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)＝﹣t2+3t．

S四邊形CDBP＝S△BCD+S△BPC＝CDOB+PEOB，

即S＝×2×3+(﹣t2+3t)×3＝﹣(t﹣)2+，

∵a＝﹣＜0，且0＜t＜3，

∴當(dāng)t＝時(shí)，S的最大值為；

②以CD為邊，點(diǎn)C、D、Q、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

則PQ∥CD，且PQ＝CD＝2．

∵點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在直線BC上，

∴點(diǎn)P(t，﹣t2+2t+3)，點(diǎn)Q(t，﹣t+3)．

分兩種情況討論：

(Ⅰ) 如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方時(shí)，

∴(﹣t2+2t+3)﹣(﹣t+3)＝2．即t2﹣3t+2＝0．解得 t1＝1，t2＝2．

∴P1(1，4)，P2(2，3)，

(Ⅱ) 如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q下方時(shí)，

∴(﹣t+3)﹣(﹣t2+2t+3)＝2．即t2﹣3t﹣2＝0．

解得 t3＝，t4＝，

∴P3(，)，P4(，)，

綜上所述，所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)分別為：P(1，4)或(2，3)或(，)或(，)．