Question

已知：在如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，3），C（n，-3）（其中n＞0），點(diǎn)B在x軸的正半軸上．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，在四邊形OABC的邊上依次沿O-A-B-C的順序向點(diǎn)C移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的路徑的長(zhǎng)為x，△POC的面積為S，S與x的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示，其中四邊形ODEF是等腰梯形．
（1）求B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及圖2中OF的長(zhǎng)；
（2）在圖1中，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P恰為經(jīng)過(guò)O，B兩點(diǎn)的拋物線W的頂點(diǎn)時(shí)，
①求此拋物線W的解析式；
②若點(diǎn)Q在直線y=-1上方的拋物線W上，坐標(biāo)平面內(nèi)另有一點(diǎn)R，滿足以B，P，Q，R四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，△POC的面積為12，求出斜邊AO可得出m的值，圖1中四邊形ODEF是等腰梯形，點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（m，12），得出y_E=y_D=12，此時(shí)圖1中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合，利用三角形面積求出OB的長(zhǎng)，進(jìn)而得出B點(diǎn)坐標(biāo)，以及利用△ABM≌△CON得出C點(diǎn)坐標(biāo)和利用勾股定理求出OF的長(zhǎng)；
（2）①先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后根據(jù)O、B可得出拋物線解析式；
②根據(jù)當(dāng)點(diǎn)P恰為經(jīng)過(guò)O，B兩點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，i）當(dāng)BP為以B，P，Q，R為頂點(diǎn)的菱形的邊時(shí)，ii）當(dāng)BP為以B，P，Q，R為頂點(diǎn)的菱形的對(duì)角線時(shí)，分別分析得出即可．

解答：解：（1）根據(jù)圖中得出：
∵當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，△POC的面積為12，
∴AO=

22+32

=

13

，
∴m=

13

；
∵圖1中四邊形ODEF是等腰梯形，點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（m，12），
∴y_E=y_D=12，此時(shí)圖2中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B重合，
∵點(diǎn)B在x軸的正半軸上，
∴S_△POC=

1

2

×OB×|yC|=

1

2

×OB×3=12．
解得：OB=8，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0）． 
此時(shí)作AM⊥OB于點(diǎn)M，CN⊥OB于點(diǎn)N．
（如圖2）．
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（n，-3），
∴點(diǎn)C在直線y=-3上．
又∵由圖1中四邊形ODEF是等腰梯形可知圖2中的點(diǎn)C在過(guò)點(diǎn)O與AB平行的直線l上，
∴點(diǎn)C是直線y=-3與直線l的交點(diǎn)，且∠ABM=∠CON．
又∵|y_A|=|y_C|=3，即AM=CN，
可得△ABM≌△CON．
∴ON=BM=6，點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（6，-3）．
∵圖2中 AB=

AM2+BM2

=

32+62

=3

5

．
∴圖1中DE=3

5

，OF=2x_D+DE=2

13

+3

5

． 

（2）①當(dāng)點(diǎn)P恰為經(jīng)過(guò)O，B兩點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，作PG⊥OB于點(diǎn)G．
（如圖3）
∵O，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O（0，0），B（8，0），
∴由拋物線的對(duì)稱性可知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，即OG=BG=4．由tan∠ABM=

AM

BM

=

3

6

=

PG

BG

，可得PG=2．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（4，2），
設(shè)拋物線W的解析式為y=ax（x-8）（a≠0）．
∵拋物線過(guò)點(diǎn)P（4，2），
∴4a（4-8）=2．
解得：a=-

1

8

，
∴拋物線W的解析式為y=-

1

8

x2+x．
②如圖4．
i）當(dāng)BP為以B，P，Q，R為頂點(diǎn)的菱形的邊時(shí)，
∵點(diǎn)Q在直線y=-1上方的拋物線W 上，點(diǎn)P為拋物線W的頂點(diǎn)，
結(jié)合拋物線的對(duì)稱性可知點(diǎn)Q只有一種情況，點(diǎn)Q與原點(diǎn)重合，其坐標(biāo)為Q₁（0，0）．
ii）當(dāng)BP為以B，P，Q，R為頂點(diǎn)的菱形的對(duì)角線時(shí)，可知BP的中點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，1），BP的中垂線的解析式為y=2x-11．
∴點(diǎn)Q₂的橫坐標(biāo)是方程-

1

8

x2+x=2x-11的解．
將該方程整理得：x²+8x-88=0．
解得x=-4±2

26

．
由點(diǎn)Q在直線y=-1上方的拋物線W上，結(jié)合圖4可知點(diǎn)Q₂的橫坐標(biāo)為2

26

-4．
∴點(diǎn)Q₂的坐標(biāo)是Q₂（2

26

-4，4

26

-19）． 
綜上所述，符合題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)是Q₁（0，0），Q₂（2

26

-4，4

26

-19）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及菱形性質(zhì)和等腰梯形性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出梯形面積進(jìn)而得出B，C點(diǎn)的坐標(biāo)是解題關(guān)鍵，難度較大．