Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為(-2，0)，點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)E為線段AB上的動點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合)，以E為頂點(diǎn)作∠OET=45°，射線ET交線段OB于點(diǎn)F，C為y軸正半軸上一點(diǎn)，且OC=AB，拋物線y=-x2+mx+n的圖象經(jīng)過A，C兩點(diǎn).

（1）求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求證：∠BEF=∠AOE；

（3）當(dāng)△EOF為等腰三角形時，求此時點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（4）在（3）的條件下，當(dāng)直線EF交x軸于點(diǎn)D，P為（1）中拋物線上一動點(diǎn)，直線PE交x軸于點(diǎn)G，在直線EF上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△EPF的面積是△EDG面積的（2+1）倍.若存在，請直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-x+2；（2）證明見解析；（3）(-1， 1)，(-， 2-)；（4）P(0， 2)或P（-1，2）

【解析】

試題（1）首先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（2）利用三角形外角性質(zhì)，易證∠BEF=∠AOE；

（3）當(dāng)△EOF為等腰三角形時，有三種情況，需要分類討論，注意不要漏解；

（4）本問關(guān)鍵是利用已知條件求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，要點(diǎn)是將△EPF與△EDG的面積之比轉(zhuǎn)化為線段之比．如圖④所示，首先證明點(diǎn)E為DF的中點(diǎn)，然后作x軸的平行線FN，則△EDG≌△EFN，從而將△EPF與△EDG的面積之比轉(zhuǎn)化為PE：NE；過點(diǎn)P作x軸垂線，可依次求出線段PT、PM的長度，從而求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)；最后解一元二次方程，確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．

試題解析：（1） 如答圖①， ∵A（-2，0）B（0，2）

∴OA="OB=2" ∴AB2=OA2+OB2=22+22=8∴AB=2∵OC=AB∴OC=2， 即C （0，2）

又∵拋物線y=-x2+mx+n的圖象經(jīng)過A、C兩點(diǎn) 則可得解得：

∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2-x+2

（2） ∵OA=OB ∠AOB=90° ∴∠BAO=∠ABO=45°

又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE

∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF ∴∠BEF=∠AOE

（3） 當(dāng)△EOF為等腰三角形時，分三種情況討論

①當(dāng)OE=OF時， ∠OFE=∠OEF=45°

在△EOF中， ∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=180°-45°-45°=90°

又∵∠AOB＝90°

則此時點(diǎn)E與點(diǎn)A重合， 不符合題意， 此種情況不成立.

②如答圖②， 當(dāng)FE=FO時，

∠EOF=∠OEF=45°

在△EOF中，∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°

∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°∴EF∥AO ∴ ∠BEF=∠BAO=45° 又∵ 由 (2) 可知 ，∠ABO=45°∴∠BEF=∠ABO ∴BF=EF∴EF=BF=OF=OB=×2＝1 ∴ E(-1， 1)

③如答圖③， 當(dāng)EO=EF時， 過點(diǎn)E作EH⊥y軸于點(diǎn)H 在△AOE和△BEF中，

∠EAO=∠FBE， EO=EF， ∠AOE=∠BEF ∴△AOE≌△BEF ∴BE=AO=2

∵EH⊥OB ∴∠EHB=90°∴∠AOB=∠EHB ∴EH∥AO ∴∠BEH=∠BAO=45°

在Rt△BEH中， ∵∠BEH=∠ABO=45° ∴EH=BH=BEcos45°=2×=

∴OH="OB-BH=2-"∴ E(-， 2-)

綜上所述， 當(dāng)△EOF為等腰三角形時， 所求E點(diǎn)坐標(biāo)為E(-1， 1)或E(-， 2-)

（4） P(0， 2)或P （-1， 2）

考點(diǎn): 二次函數(shù)綜合題．