Question

25、如圖，已知正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，E是AC上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BE，垂足為G，AG交BD于點(diǎn)F．
①試說(shuō)明OE=OF；
②若點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，AG⊥BE，交EB延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，AG的延長(zhǎng)線交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若其他條件不變，請(qǐng)作圖，結(jié)論OE=OF仍成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．

Answer 1

分析：①由同角的余角相等，可得∠EBD=∠GAE，由正方形的性質(zhì)知，AO=BO，∠AOB=∠BOE，則ASA證得△AFO≌△BEO，可得OE=OF．
②作出圖示，思路與①同，易得△AFO≌△BEO，可得OE=OF．

解答：解：①在正方形ABCD中AO=BO，∠AOB=∠BOE，
又∵AG⊥BE，
∴∠GAE+∠BEA=90°，∠EBD+∠AEB=90°．
∴∠EBD=∠GAE．
∴△AOF≌△BOE．
∴OE=OF．

②OE=OF仍成立．
在正方形ABCD中AO=BO，∠AOB=∠BOE，
又∵AG⊥BE，
∴∠GAE+∠BEA=90°，∠EBD+∠AEB=90°．
∴∠EBD=∠GAE．
∴△AOF≌△BOE．
∴OE=OF．

點(diǎn)評(píng)：解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)．注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系，可有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率．