Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，射線AM∥BC，點P從點A出發(fā)沿射線AM運動，同時點Q從點B出發(fā)沿射線BC運動，設運動時間為t（s）．
（1）連接PQ、AQ、PC，當PQ經(jīng)過AC的中點D時，求證：四邊形AQCP是平行四邊形；
（2）若BC=6cm，點P速度為1cm/s，點Q的速度為4cm/s，填空：
①當t為______s時，以A、Q、C、P為頂點的四邊形是平行四邊形；
②當t為______s時，以A、Q、C、P為頂點的四邊形是直角梯形．

Answer 1

（1）證明：∵D為AC中點，
∴AD=CD，
∵AM∥BC，
∴∠PAC=∠ACB，
在△ADP和△CDQ中，
，
∴△ADP≌△CDQ（ASA），
∴PD=DQ，
又∵AD=CD，
∴四邊形AQCP是平行四邊形；

（2）①當Q在線段BC上，AP=QC時，以A、Q、C、P為頂點的四邊形是平行四邊形，
由題意得：t=6-4t，
解得：t=1.2，
當Q在C的右邊時，AP=QC時，以A、Q、C、P為頂點的四邊形是平行四邊形，
由題意得：t=4t-6，
解得：t=2，
故答案為：1.2或2；

②（I）若CP⊥AM，則AP=3，BQ=4×3=12，點Q在C的右邊，不是直角梯形．
（II）若AQ⊥BC，
∵△ABC為等腰三角形，
∴Q為BC中點，即BQ=3，
∴此時的時間為3÷4=0.75（s）；
故答案為：0.75．
分析：（1）證明△ADP≌△CDQ（ASA）可得PD=DQ，又AD=CD，故四邊形AQCP是平行四邊形；
（2）①要分兩種情況：當Q在線段BC上，AP=QC時；當Q在C的右邊時，AP=QC時，粉筆根據(jù)題意算出t；
②分情況討論：（I）若CP⊥AM，則AP=3，BQ=4×3=12，點Q在C的右邊，不是直角梯形．（II）若AQ⊥BC，Q為BC中點，即BQ=3，進而得到答案．
點評：此題考查了平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及直角梯形，弄清題意是解本題的關鍵．