Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=BC，∠CAB=30°，AC=8，半徑為2的⊙O從點A開始（如圖1）沿直線AB向右滾動，滾動時始終與直線AB相切（切點為D），當⊙O與△ABC只有一個公共點時滾動停止，作OG⊥AC于點G．
（1）圖1中，⊙O在AC邊上截得的弦長AE=；
（2）當圓心落在AC上時，如圖2，判斷BC與⊙O的位置關系，并說明理由．
（3）在⊙O滾動過程中，線段OG的長度隨之變化，設AD=x，OG=y，求出y與x的函數(shù)關系式，并直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）2
（2）解：BC與⊙O相切，

理由：如圖2，過點O作OH⊥BC于H，連接OD，

∵⊙O與AB相切于D，

∴OD⊥AB，

在Rt△AOD中，∠A=30°，

∴OA=2OD=4，

∵AC=8，

∴OC=4，

在△ABC中，AB=AC，

∴∠C=∠BAC=30°，

在Rt△OHC中，∠C=30°，

∴OH= OC=2=OD，

∴BC與⊙O相切，

（3）解：①當點O在AC的左側時，

連接OD交AC于F，如備用圖1，

∵⊙O與AB相切于D，

∴OD⊥AB，

∵OG⊥AC，

∴∠FOG=∠BAC=30°，

在Rt△FDA中，tan∠BAC= ，

∴FD=ADtan∠BAC= x，

∴OF=2﹣ x，

在Rt△FOG中，y=OG=OFcos∠FOG=（2﹣ x）× =﹣ x+ ，

x的取值范圍為0≤x≤2 ；

②當點O在AC的右側時，

連接DO并延長交AC于F，如備用圖2，

同①的方法得，F(xiàn)D= x，

∴OF= x﹣2，

∵FD⊥AB，

∴∠BAC+∠AFD=90°，

∴∠FOG=∠BAC=30°，

在Rt△FOG中，y=OG=OFcos∠FOG=（ x﹣2）× = x﹣ ，

x的取值范圍為2 ≤x≤ ．

【解析】解：（1）∵⊙O與直線AB相切于點D，

∴∠ODB=90°，

當點D與點A重合時，

連接OA，OE，

∴OA=OE，

∵∠BAC=30°，

∴∠OAC=60°，

∴△OAE是等邊三角形，

∴AE=OA=2，

所以答案是2；