Question

【題目】如圖，一次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸交于兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，已知.

(1)求的值；

(2)若，求反比例函數(shù)的解析式；

(3)在(2)的條件下，設(shè)點(diǎn)是軸(除原點(diǎn)外)上一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，當(dāng)點(diǎn)滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)能否在反比例函數(shù)的圖象上？如果能，求出所有的點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）k2﹣k1=5；（2）；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2+，﹣2+）或（2﹣，﹣2﹣）或（﹣2，﹣2）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)代入反比例關(guān)系中，可得結(jié)論；

（2）根據(jù)△ACM∽△ADN，得，由CM=1得DN=4，同理得N的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)式中可得k2的值；

（3）如圖2，點(diǎn)P在x軸的正半軸上時(shí)，繞P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)Q，根據(jù)△COP≌△PHQ，得CO=PH，OP=QH，設(shè)P（x，0），表示Q（x+4，x），代入反比例函數(shù)的關(guān)系式中可得Q的兩個(gè)坐標(biāo)；

如圖3，點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上時(shí)；

如圖4，點(diǎn)P在x軸的正半軸上時(shí)，繞P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)Q，同理可得結(jié)論．

試題解析：（1）如圖1，∵MC⊥y軸于點(diǎn)C，且CM=1，

∴M的橫坐標(biāo)為1，

當(dāng)x=1時(shí)，y=k1+5，∴M（1，k1+5），

∵M在反比例函數(shù)的圖象上，∴1×（k1+5）=k2，

∴k2﹣k1=5；

（2）如圖1，過N作ND⊥y軸于D，

∴CM∥DN，∴△ACM∽△ADN，∴，

∵CM=1，∴DN=4，

當(dāng)x=4時(shí)，y=4k1+5，∴N（4，4k1+5），∴4（4k1+5）=k2①，

由（1）得：k2﹣k1=5，∴k1=k2﹣5②，

把②代入①得：4（4k2﹣20+5）=k2，k2=4；

∴反比例函數(shù)的解析式；

（3）當(dāng)點(diǎn)P滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q能在反比例函數(shù)的圖象上；

如圖2，CP=PQ，∠CPQ=90°，

過Q作QH⊥x軸于H，易得：△COP≌△PHQ，

∴CO=PH，OP=QH，

由（2）知：反比例函數(shù)的解析式；

當(dāng)x=1時(shí)，y=4，∴M（1，4），∴OC=PH=4，

設(shè)P（x，0），∴Q（x+4，x），

當(dāng)點(diǎn)Q落在反比例函數(shù)的圖象上時(shí)，x（x+4）=4，x2+4x+4=8，x=﹣2±，

當(dāng)x=﹣2+時(shí)，x+4=2+，如圖2，Q（2+，﹣2+）；

當(dāng)x=﹣2﹣時(shí)，x+4=2﹣，如圖3，Q（2﹣，﹣2﹣）；

如圖4，CP=PQ，∠CPQ=90°，設(shè)P（x，0），

過P作GH∥y軸，過C作CG⊥GH，過Q作QH⊥GH，

易得：△CPG≌△PQH，∴PG=QH=4，CG=PH=x，∴Q（x﹣4，﹣x），

同理得：﹣x（x﹣4）=4，解得：x1=x2=2，∴Q（﹣2，﹣2），

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2+，﹣2+）或（2﹣，﹣2﹣）或（﹣2，﹣2）．