Question

如圖：已知AB是⊙O的直徑，P為AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)．且BP=AB，C、D是半圓AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，連接PD．
（1）PD與⊙O有怎樣的位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
（2）連接PC，若AB=10cm，求由PC，弧CD、PD所圍成的圖形的面積．（結(jié)果保留π）．

Answer 1

（1）解：PD與⊙O相切，
理由如下：
連接OD，BD，
∵BP=AB，OB=AB，
∴BP=OB，
∵C、D是半圓AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，
∴∠DOB=∠COD=60°，
∵OD=OB，
∴BD=OB=BP，
∴∠ODP=90°，
∴PD與⊙O相切；

（2）解：連接CO，
∵∠COD=60°，CO=OD，
∴CO=OD=CD，
∴∠DOB=∠CDO=60°，
∴CD∥AB，
∴S_△CDP=S_△COD，
∴S_陰影=S_扇形COD==π．
分析：（1）首先連接OD，BD，由BP=AB，OB=AB，C、D是半圓AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，易證得BD=OB=BP，繼而求得∠ODP=90°，則可證得PD與⊙O相切；
（2）首先連接CO，易得△COD是等邊三角形，又由CD∥AB，可得S_△CDP=S_△COD，即可得S_陰影=S_扇形COD．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線(xiàn)的判定、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及扇形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．