Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，2），

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖，在拋物線對(duì)稱軸上取兩個(gè)點(diǎn)G、H（G在H的上方），且滿足GH=1，連接CG，AH，求四邊形CGHA的周長的最小值；

（3）如圖，點(diǎn)P是拋物線第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，交BC于點(diǎn)D，PE⊥BC于點(diǎn)E，設(shè)△PDE的面積為S，求當(dāng)S取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）++1．（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）時(shí)，S取最大值，最大值為．

【解析】

（1）由點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）將拋物線的函數(shù)表達(dá)式變形為頂點(diǎn)式，可得出拋物線的對(duì)稱軸，在y軸上截取CC′=GH（點(diǎn)C′在點(diǎn)C的下方），連接BC′交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)H，此時(shí)四邊形CGHA的周長取最小值，由點(diǎn)C的坐標(biāo)結(jié)合GH=1可得出點(diǎn)C′的坐標(biāo)，由點(diǎn)A，C，B，C′的坐標(biāo)利用勾股定理可求出AC，BC′的長度，將其代入四邊形CGHA的周長的最小值=AC+BC′+GH中，即可求出結(jié)論；

（3）由點(diǎn)B，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-m2+m+2）（0＜m＜4），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，-m+2），進(jìn)而可得出PD的長度，由PE⊥BC，PQ⊥x軸及∠PDE=∠BDQ可得出∠DPE=∠DBQ，結(jié)合tan∠DPE=可得出PE=2DE，PD=DE，再利用三角形的面積公式可得出S=PD2，由PD=-m2+2m，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出PD的最大值，代入S=PD2中即可求出S的最大值．

（1）將A（-1，0），B（4，0），C（0，2）代入y=ax2+bx+c，得：

，解得：，

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-x2+x+2．

（2）∵y=-x2+x+2=-（x-）2+，

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=．

如圖2，在y軸上截取CC′=GH（點(diǎn)C′在點(diǎn)C的下方），連接BC′交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)H．

∵CC′∥GH，

∴四邊形CC′HG為平行四邊形，

∴C′H=CG．

又∵點(diǎn)A，B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴BH=AH，

∴AH+CG=BH+C′H=BC′，即此時(shí)四邊形CGHA的周長取最小值．

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），GH=1，

∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（0，1）．

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），

∴AC==，BC′==，

∴四邊形CGHA的周長的最小值=AC+BC′+GH=++1．

（3）設(shè)直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+d（k≠0），

將B（4，0），C（0，2）代入y=kx+d，得：

，解得：，

∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為y=-x+2．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-m2+m+2）（0＜m＜4），則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，-m+2），

∴PD=-m2+m+2-（-m+2）=-m2+2m．

∵PE⊥BC，PQ⊥x軸，

∴∠PED=∠BQD=90°．

∵∠PDE=∠BDQ，

∴∠DPE=∠DBQ，

∴tan∠DPE=，

∴PE=2DE，PD=DE，

∴S=DEPE=×PD×PD=PD2．

∵在PD=-m2+2m=-（m-2）2+2中，-＜0，

∴當(dāng)m=2時(shí)，PD取最大值，最大值為2，

∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）時(shí)，S取最大值，最大值為．