Question

設(shè)α，β是方程4x²-4mx+m+2=0，（x∈R）的兩個(gè)實(shí)根，當(dāng)m為何值時(shí)，α²+β²有最小值？并求出這個(gè)最小值．

Answer 1

分析：由已知中α，β是方程4x²-4mx+m+2=0，（x∈R）的兩個(gè)實(shí)根，則首先應(yīng)判斷△≥0，即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，然后根據(jù)韋達(dá)定理（一元二次方程根與系數(shù)）的關(guān)系，給出α²+β²的表達(dá)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到出m為何值時(shí)，α²+β²有最小值，進(jìn)而得到這個(gè)最小值．

解答：解：若α，β是方程4x²-4mx+m+2=0，（x∈R）的兩個(gè)實(shí)根
則△=16m²-16（m+2）≥0，即m≤-1，或m≥2
則α+β=m，α×β=

m+2

4

，
則α²+β²=（α+β）²-2αβ=m²-2×

m+2

4

=m²-

1

2

m-1=（m-

1

4

）²-

17

16

∴當(dāng)m=-1時(shí)，α²+β²有最小值，最小值是

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是一元二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)的性質(zhì)，其中易忽略，方程有兩個(gè)根時(shí)△≥0的限制，直接利用韋達(dá)定理和二次函數(shù)的性質(zhì)求解，而錯(cuò)解為當(dāng)x=

1

4

時(shí)，最小值為-

17

16

．