Question

如圖，在△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，DE⊥BC，垂足為E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若DG⊥AB，垂足為點F，交⊙O于點G，∠A=35°，⊙O半徑為5，求劣弧DG的長．（結果保留π）

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD，OD，求出OD∥BC，推出OD⊥DE，根據切線判定推出即可；
（2）求出∠BOD=∠GOB，求出∠BOD的度數，根據弧長公式求出即可．
解答：（1）證明：連接BD、OD，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥AC，
∵AB=BC，
∴AD=DC，
∵AO=OB，
∴DO∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵OD為半徑，
∴DE是⊙O切線；

（2）解：∵DG⊥AB，OB過圓心O，
∴弧BG=弧BD，
∵∠A=35°，
∴∠BOD=2∠A=70°，
∴∠BOG=∠BOD=70°，
∴∠GOD=140°，
∴劣弧DG的長是=π．
點評：本題考查了弧長公式，切線的判定，平行線性質和判定，圓周角定理，等腰三角形的性質和判定，三角形的中位線等知識點的應用，主要考查學生綜合運用定理進行推理和計算的能力．