Question

已知一組兩兩不等的四位數(shù)，它們的最大公約數(shù)是42，最小公倍數(shù)是90090．問這組四位數(shù)最多能有多少個(gè)？它們的和是多少？

Answer 1

分析：①根據(jù)題意先設(shè)這組四位數(shù)共n個(gè)，又知它們的最大公約數(shù)是42，從而得知其中的每個(gè)a_i=42x_i是四位數(shù)，所以1000≤42x_i＜10000，繼而得出答案；②已知一組兩兩不等的四位數(shù)，最小公倍數(shù)是90090，結(jié)合①可知x_i是由3，5，11，13每個(gè)至多用一次組合成的在23和239之間的自然數(shù)，并且兩兩不同．其中兩個(gè)質(zhì)因數(shù)組合且滿足（*）式者，只有33，39，55，65，143，三個(gè)質(zhì)因數(shù)組合且滿足（*）式者，有165和195，一個(gè)質(zhì)因數(shù)以及多于三個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，都不能滿足（*）式．因此最多產(chǎn)生7個(gè)兩兩不同的四位數(shù)．然后再求和即可．

解答：解：①設(shè)這組四位數(shù)共n個(gè)，分別為
a₁=42x₁，a₂=42x₂，a₃=42x₃，a_n=42x_n，其中的每個(gè)a_i=42x_i是四位數(shù)，
所以1000≤42x_i＜10000，23＜

1000

42

≤xi＜

10000

42

＜239．
②由題設(shè)知90090=[a₁，a₂，a_n]=[42x₁，42x₂，42x_n]=42[x₁，x₂，x_n]
所以[x₁，x₂，x_n]=

90090

42

=2145=3×5×11×13，其中23＜x_i＜239．（*）
可知x_i是由3，5，11，13每個(gè)至多用一次組合成的在23和239之間的自然數(shù)，并且兩兩不同．其中兩個(gè)質(zhì)因數(shù)組合且滿足（*）式者，只有33，39，55，65，143，三個(gè)質(zhì)因數(shù)組合且滿足（*）式者，有165和195，一個(gè)質(zhì)因數(shù)以及多于三個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，都不能滿足（*）式．因此最多產(chǎn)生7個(gè)兩兩不同的四位數(shù)．
a₁=42×33=1386，a₂=42×39=1638，
a₃=42×55=2310，a₄=42×65=2730，
a₅=42×143=6006，a₆=42×165=6930，
a₇=42×195=8190．
它們的和等于
42×（33+39+55+65+143+165+195）
=42×695=29190．
答：這組兩兩不同的四位數(shù)最多是7個(gè)，它們的和是29190．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的相關(guān)知識(shí)，牢記概念并熟練運(yùn)用是關(guān)鍵．