Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c過點A（一1，4），其頂點的橫坐標(biāo)為

1

2

，與x軸分別交于B（x₁，0）、C（x₂，0）兩點（其中且x₁＜x₂），且x₁²+x₂²=13．
（1）求此拋物線的解析式及頂點E的坐標(biāo)；
（2）設(shè)此拋物線與y軸交于D點，點P是拋物線上的點，若△PBO的面積為△DOC面積的

2

3

倍，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）首先認(rèn)真閱讀題目要求，畫出如下圖所示，根據(jù)拋物線y=ax²+bx+c過點A（-1，4）列出關(guān)系式4=a-b+c；根據(jù)拋物線y=ax²+bx+c頂點的橫坐標(biāo)為

1

2

列出關(guān)系式-

b

2a

=

1

2

；與x軸分別交于B（x₁，0）、C（x₂，0）兩點（其中且x₁＜x₂），且x₁²+x₂²=13，那么可得到方程ax²+bx+c=0，因此x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

，則利用完全平方式可得

b2

a2

-2×

c

a

=13．聯(lián)立三式組成方程組，可解得a、b、c的值，則拋物線的解析式即可確定．再將解析式寫出頂點式，則頂點坐標(biāo)E也就確定．
（2）設(shè)P的坐標(biāo)為（m、n）．首先結(jié)合圖形，求得B、C、D點的坐標(biāo)．再用n表示出△PBO的面積，并求得△DOC面積的面積，根據(jù)兩個三角形的面積比，求得n的取值，則m的取值，也就可求出．

解答：解：（1）由題意得

- b 2a = 1 2 4=a-b+c b2 a2 - 2 c a =13

?

b=-a      4=a-b+c  1- 2 c a =13

?

b=-a              ① 4=a-b+c        ② c=-6a          ③

將①②代入②得      a=-1，則b=1，c=6
∴該拋物線的解析式為y=-x²+x+6=-(x-

1

2

)2+

25

4

∴頂點E的坐標(biāo)為(

1

2

，

25

4

)

（2）拋物線與y軸交點D的橫坐標(biāo)為x=0，則y=6，即D（0，6）
∵-x²+x+6=0?-（x-3）（x+2）=0，即x=-2或3
∴B（-2，0）、C（3，0）
設(shè)P的坐標(biāo)為（m、n）
S△BOP=

1

2

×2×|n|
S△DOC=

1

2

×3×6=9
又∵S△BOP=

2

3

S△DOC，即

1

2

×2×|n|=

2

3

×9
∴n=6或-6
當(dāng)n=6時，則6=-m²+m+6，解得m=0或1；
當(dāng)n=-6時，則-6=-m²+m+6，解得m=-3或4．
∴點P的坐標(biāo)為（0，6）、（-1，6）、（-3，-6）、（4，-6）
答：（1）該拋物線的解析式為y=-x²+x+6，頂點E的縱坐標(biāo)為(

1

2

，

25

4

)；
（2）點P的坐標(biāo)為（0，6）、（-1，6）、（-3，-6）、（4，-6）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．