Question

3．某中學教學樓的后面靠近一座山坡，坡面下是一塊草地，如圖所示，BC∥AD，斜坡AB=160米，坡度i=$\sqrt{3}$：1，為防止山體滑坡，保障學生安全，學校決定不僅加固教學樓，還對山坡進行改造，當坡角不超過45°時可保證山體不滑坡，改造時保持坡腳A不動，從坡頂B沿BC進到E處，問BE至少是多少米？（結果保留根號）

Answer 1

分析 首先過點E作EF⊥AD于F，過點B作BH⊥AD于H，由BC∥AD，可得四邊形EFHB是矩形，即可得BE=FH，EF=BH，然后分別在Rt△ABH中與Rt△AEF中，利用三角函數(shù)的知識求得AH，AF，EF的長，繼而求得答案．

解答 解：過點E作EF⊥AD于F，過點B作BH⊥AD于H，
∵BC∥AD，
∴四邊形EFHB是矩形，
∴EF=BH，BE=FH，
∵斜坡AB=40米，坡度i=$\sqrt{3}$：1，
∴tan∠BAH=$\sqrt{3}$，
∴∠BAH=60°，
在Rt△ABH中，BH=AB•sin∠BAH=40×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=20$\sqrt{3}$（米），AH=AB•cos∠BAH=40×$\frac{1}{2}$=20（米），
∴BH=20$\sqrt{3}$米，
∴EF=20$\sqrt{3}$米，
∵∠EAF=45°，
∴在Rt△AEF中，AF=$\frac{EF}{tan∠EAF}$=$\frac{20\sqrt{3}}{1}$=20$\sqrt{3}$（米），
∴BE=FH=AF-AH=20$\sqrt{3}$-20（米）．
∴BE至少是（20$\sqrt{3}$-20）米．

點評 此題考查了坡度坡角問題．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意能借助于坡度坡角的定義構造直角三角形并解直角三角形是解此題的關鍵．