Question

閱讀下面的材料：
∵ax²+bx+c=0（a≠0）的根為x1=

-b+ b2-4ac

2a

，x2=

-b- b2-4ac

2a

∴x1+x2=

-2b

2a

=-

b

a

，x1x2=

b2-(b2-4ac)

4a2

=

c

a

綜上所述得，設(shè)ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁、x₂，則有 x1+x2=-

b

a

，x1x2=

c

a

．
請利用這一結(jié)論解決下列問題：
（1）若x²+bx+c=0的兩根為1和3，求b和c的值．
（2）設(shè)方程2x²+3x+1=0的根為x₁、x₂，求x12+x22的值．
（3）設(shè)m、n是一元二次方程x²+3x-7=0的兩個根，求m²+4m+n的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到1+3=-b，1×3=c，然后解方程即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=-

3

2

，x₁x₂=

1

2

，再把原式變形為（x₁+x₂）²-2x₁x₂，然后利用整體代入的方法計算；
（3）先根據(jù)一元二次方程解的定義得到m²+3m-7=0，即m²=-3m+7，則m²+4m+n可化為m+n+7，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n=-3，再利用整體代入的方法計算．

解答：解：（1）根據(jù)題意得1+3=-b，1×3=c，
所以b=-4，c=3；

（2）x₁+x₂=-

3

2

，x₁x₂=

1

2

，
原式=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（-

3

2

）²-2×

1

2

=

5

4

；

（3）∵m是一元二次方程x²+3x-7=0的根
∴m²+3m-7=0，即m²=-3m+7，
∴m²+4m+n=-3m+7+4m+n
=m+n+7，
∵m、n是一元二次方程x²+3x-7=0的兩個根，
∴m+n=-3，
∴m²+4m+n=-3+7=4．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．