Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4a，E是BC的中點(diǎn)，BE=2a，∠BAD=120°，P是BD上的動點(diǎn)，則PE+PC的最小值為              .

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】

試題分析：根據(jù)菱形的判定，得出平行四邊形ABCD為菱形，作出E關(guān)于BD的對稱點(diǎn)E′，轉(zhuǎn)化為線段長度的問題，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)判斷出△BCE′為直角三角形，利用勾股定理即可求出CE′的長．

 

∵E是BC的中點(diǎn)，BE=2a，

∴BC=2BE=2×2a=4a，

故BC=AC，

∴平行四邊形ABCD為菱形．

∴∠ABD=∠CBD，

∴BD是∠ABC的平分線．

作E關(guān)BD的對稱點(diǎn)E′，

連接CE′，PE，

則PE=PE′，

此時，PE+PC=PE′+PC=CE′，

CE′即為PE+PC的最小值．

∵∠A=120°，

∴∠ABD=∠ADB=30°，

∴∠ABC=60°，

又∵BE′=BE，

∴△E′BE為正三角形，EE′=2a，∠ABE=60°，

故EE′=EC，

∠EE′C=∠ECE′=30°，

∴∠BE′C=60°+30°=90°，

在Rt△BCE′中，

考點(diǎn)：軸對稱---最短路徑問題，菱形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理

點(diǎn)評：本題綜合性較強(qiáng)，難度較大，是中考中比較常見的知識點(diǎn)，一般難度不大，需熟練掌握.