精英家教網(wǎng)如圖,已知△ABC,∠ACB=90°,AC=BC,點E、F在AB上,∠ECF=45°.
(1)求證:△ACF∽△BEC;
(2)設(shè)△ABC的面積為S,求證:AF•BE=2S;
(3)試判斷以線段AE、EF、FB為邊的三角形的形狀并給出證明.
分析:(1)對應(yīng)角相等,兩三角形相似;
(2)根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明AF•BE=AC•BC=2S;
(3)將△ACE繞O順時針旋轉(zhuǎn)90°到△CBG,邊角邊證明三角形全等,得出FG=EF,在證明△FBG為直角三角形,得出三邊構(gòu)成三角形的形狀.
解答:證明:(1)∵AC=BC,∠ECF=45°,∠ACB=90°,
∴∠A=∠B=45°,∠AFC=45°+∠BCF=∠ECB=45°+∠BCF.
∴∠AFC=∠ECB.
∴△ACF∽△BEC.

(2)∵△ACF∽△BEC,
AC
BE
=
AF
BC
,
∴AF•BE=AC•BC.
S△ABC=
1
2
AC•BC

∴AF•BE=2S.

(3)直角三角形.
提示:方法1:將△ACE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°到△BCG,使得AC與BC重合,連接FG.
可以證明△FBG是直角三角形.
方法2:將△ACE和△BCF分別以CE、CF所在直線為軸折疊,
則AC、BC的對應(yīng)邊正好重合與一條線段CG,連接GE、GF,則△FEG是直角三角形.
方法3:由(2)可知AF•BE=AC•BC=AC2=
1
2
AB2

設(shè)AE=a,BF=b,EF=c.
則(a+b)(b+c)=
1
2
(a+b+c)2,化簡即得a2+b2=c2,
所以以線段AE、EF、FB為邊的三角形是以線段EF為斜邊的直角三角形.
點評:綜合運用了相似三角形的判定和性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的方法將AE、EF、FB巧妙地轉(zhuǎn)化為三角形.
練習(xí)冊系列答案
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如圖,已知△ABC的三個頂點分別為A(2,3)、B(3,1)、C(-2,-2).
(1)請在圖中作出△ABC關(guān)于直線x=-1的軸對稱圖形△DEF(A、B、C的對應(yīng)點分別是D、E、F),并直接寫出D、E、F的坐標(biāo);
(2)求四邊形ABED的面積.
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24、如圖,已知△ABC和△CDE均為等邊三角形,且點B、C、D在同一條直線上,連接AD、BE,交CE和AC分別于G、H點,連接GH.
(1)請說出AD=BE的理由;
(2)試說出△BCH≌△ACG的理由;
(3)試猜想:△CGH是什么特殊的三角形,并加以說明.

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17、(1)已知線段a,h,用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC,底邊BC=a,BC邊上的高為h(要求尺規(guī)作圖,不寫作法和證明)
(2)如圖,已知△ABC,請作出△ABC關(guān)于X軸對稱的圖形.并寫出A、B、C關(guān)于X軸對稱的點坐標(biāo).

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20、如圖,已知△ABC是銳角三角形,且∠A=50°,高BE、CF相交于點O,求∠BOC的度數(shù).

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