Question

請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的包裝盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)．若廣告商要求包裝盒側(cè)面積Scm²最大，試求x應(yīng)取何值？
設(shè)AE=FB=xcm，包裝盒側(cè)面積為Scm²．

（I）分析：由正方形硬紙片ABCD的邊長(zhǎng)為60cm，AE=FB=xcm，則EF=________cm．
為更好地尋找題目中的等量關(guān)系，將剪掉的陰影部分三角形集中，得到邊長(zhǎng)為EF的正方形，其面積為_(kāi)_______cm²；折起的四個(gè)角上的四個(gè)等腰直角三角形的面積之和為_(kāi)_______cm²．
（Ⅱ）由以上分析，用含x的代數(shù)式表示包裝盒的側(cè)面積S，并求出問(wèn)題的解．

Answer 1

（60-2x）    （60-2x）²    4x²
分析：（1）根據(jù)正方形硬紙片ABCD的邊長(zhǎng)為60cm，AE=FB=xcm，則EF=（60-2x）cm，進(jìn)而得出邊長(zhǎng)為EF的正方形的面積，以及四個(gè)等腰直角三角形的面積之和；
（2）利用S=60²-（60-2x）²-4x²整理求出二次函數(shù)最值即可．
解答：（1）EF的長(zhǎng)為：（60-2x），
圖中陰影部分拼在一起是對(duì)角線為EF的正方形，其面積為：（60-2x）²cm²，
掀起的四個(gè)角上的四個(gè)等腰直角三角形的面積之和為：4x²cm²；
（2）由S=60²-（60-2x）²-4x²
=240x-8x²
=-8（x²-30x）
=-8（x-15）²+1800（0＜x＜30），
所以當(dāng)x=15cm時(shí)，側(cè)面積最大為1800cm²，
答：若包裝盒側(cè)面積Scm²最大，x應(yīng)取15cm．
故答案為：（60-2x），（60-2x）²，4x²．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及最值求法，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出圖形的面積是解題關(guān)鍵．