Question

隨州購物中心準備采購數(shù)量相同的甲、乙兩種襯衫，每件以相同的售價x元出售，其中50≤x≤120，甲種襯衫每件進價為30元，當每件定價為50元時，月銷售量為120件，每件售價不超過100元時，價格每上漲1元，每件銷量減少1件；售價超過100元時，超過100元的部分，每上漲1元，銷量減少2件，銷售甲種襯衫的月利潤為y₁（元），銷售乙種襯衫的月利潤為y₂（元），且y₂與x的函數(shù)關系為y₂＝，銷售這兩種襯衫的月利潤W（元）是y₁與y₂的和。

（1）求y₁關于x的函數(shù)關系式。

（2）求出W關于x的函數(shù)關系式。

（3）商場經理如何采購，如何定價，才能使每月獲得的總利潤W最大？說明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）當50≤x≤100時，y₁＝－x²＋200x－5100, 100≤x≤120時，y₁＝－2x²＋330x＋8100

（2）50≤x≤80時，W＝－x²＋220x－5900, 80＜x≤100時，W＝－x²＋190x－3500, 100＜x≤120時，W＝－2x²＋320x－6500（3）甲、乙兩種襯衫均采購75件，定價為每件95元，每月獲得總利潤最大。

【解析】（1）當50≤x≤100時，y₁＝(x－30)［120－（x－50）］＝－x²＋200x－5100

100≤x≤120時，y₁＝（x－30）［120－（100－50）－2（x－100）］＝－2x²＋330x＋8100

（2）50≤x≤80時，W＝y(tǒng)₁＋y₂＝－x²＋220x－5900

80＜x≤100時，W＝y(tǒng)₁＋y₂＝－x²＋190x－3500

100＜x≤120時，W＝y(tǒng)₁＋y₂＝－2x²＋320x－6500

50≤x≤80時，對和軸x＝110，拋物線開口向下

∴50≤x≤80，W隨x增大而增大，x＝80時，W_最大＝5300

80≤x≤100時，對稱軸x＝95，拋物線開口向下

∴x＝95時，W_最大＝5525

100≤x≤120時，對稱軸x＝80拋物線開口向下

∴100≤x≤120在對稱軸右側，W隨x增大而減小

∴x＝100時，W_最大＝5500

∵5525＞5500＞5300

∴x＝95時，最大利潤為5525元，銷售量為75件

答：甲、乙兩種襯衫均采購75件，定價為每件95元，每月獲得總利潤最大。

（1）根據(jù)已知銷售價x（元）與銷量之間的關系得出x的取值范圍；根據(jù)x的取值范圍得出利潤與單價以及銷量之間的關系式；

（2）根據(jù)y₁與y₂的函數(shù)關系式，得出y₁+y₂=w，求出即可；

（3）根據(jù)自變量的取值范圍，分別求出二次函數(shù)最值即可．