Question

如圖，A、B、C、D四點(diǎn)都在⊙O上，AD是⊙O的直徑，且AD=6cm，若∠ABC=∠CAD，求弦AC的長(zhǎng)．

Answer 1

解：連接DC，如圖，

∵∠ADC=∠ABC，
而∠ABC=∠CAD，
∴∠ADC=∠CAD，
∴AC=CD，
又∵AD是直徑，
∴∠ACD=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），
在Rt△ACD中，
∴AC²+CD²=AD²，
即2AC²=36，AC²=18，
AC=3（cm）．
故答案為：3cm．
分析：連接DC，則∠ADC=∠ABC，而∠ABC=∠CAD，得到∠ADC=∠CAD，得AC=CD，又因?yàn)锳D是⊙O的直徑，得到∠DCA=90°，于是AD=AC，而AD=6cm，通過(guò)計(jì)算即可得到弦AC的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理．在同圓或等圓中，同弧和等弧所對(duì)的圓周角相等，一條弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)的圓心角的一半．同時(shí)考查了圓周角的推論：直徑所對(duì)的圓周角為90度．