Question

一幢33層的大樓有一部電梯停在第一層，它一次最多容納32人，而且只能在第2層至第33層中某一層停一次，對(duì)于每個(gè)人來(lái)說，他往下走一層樓梯感到1分不滿意，往上走一層樓梯感到3分不滿意，現(xiàn)在有32個(gè)人在第一層，并且他們分別住在第2至第33層的每-層，問：電梯停在哪一層時(shí)，可以使得這32個(gè)人不滿意的總分達(dá)到最��？最小值是多少？（有些人可以不乘電梯即直接從樓梯上樓）．

Answer 1

由題意易知，這32個(gè)人恰好是第2層至第33層各住1人，對(duì)于每個(gè)乘電梯上、下樓的人，他所住的層數(shù)一定不小于直接上樓的人所住的層數(shù)．事實(shí)上，設(shè)住s層的人乘電梯，而住在t層的人直接上樓，s＜t，交換兩人的上樓方式，其余的人不變，則不滿意的總分減少．
設(shè)電梯停在第x層，在第1層有y人沒有乘電梯即直接上樓，那么不滿意的總分為：
s=3[1+2+3+…+（33-x）]+3（1+2+…+y）+[1+2+…+（x-y-2）]，
=

3×(33-x)(34-x)

2

+

3y(y+1)

2

+

(x-y-2)(x-y-1)

2

，
=2x²-（y+102）x+2y²+3y+1684，
=2（x-

y+102

4

）²+

1

8

（15y²-180y+3068），
=2（x-

y+102

4

）²+

15

8

（y-6）²+316≥316．
又當(dāng)x=27，y=6時(shí)，s=316，
故當(dāng)電梯停在第27層時(shí)，不滿意的總分最小，最小值為316．