Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點A（-2，0）、B（8，0），與y軸交于點C（0，-4）．直線y=x+m與拋物線交于點D、E（D在E的左側），與拋物線的對稱軸交于點F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）當m=2時，求∠DCF的大小；
（3）若在直線y=x+m下方的拋物線上存在點P，使得∠DPF=45°，且滿足條件的點P只有兩個，則m的值為______．（第（3）問不要求寫解答過程）

Answer 1

解：（1）依題意，設拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-8），
∵拋物線與y軸交于點C（0，-4），
∴-4=a（0+2）（0-8）．
解得．
∴拋物線的解析式為，即；

（2）由（1）可得拋物線的對稱軸為x=3，
∵m=2，
∴直線的解析式為y=x+2，
∵直線y=x+2與拋物線交于點D、E，與拋物線的對稱軸交于點F，
∴F、D兩點的坐標分別為F（3，5），D（-2，0）．
設拋物線的對稱軸與x軸的交點為M，
可得CM=FM=MD=5，
∴F、D、C三點在以M為圓心，半徑為5的圓上．
∴∠DCF=．

（3）由拋物線解析式可知，拋物線頂點坐標為G（3，-）
設F（3，3+m），則FG=m+3+，設D關于對稱軸的對稱點為D₁，
當四邊形DGD₁F為正方形時，滿足題意，此時P點與頂點G重合，或者與D₁重合，
故DD₁=F′G，D點橫坐標為：x=-（F′G-3）=-，縱坐標為-（F′G-3-m）=，
將D點坐標拋物線解析式，解得．

分析：（1）已知拋物線過A（-2，0）、B（8，0）兩點，可設交點式y(tǒng)=a（x+2）（x-8），再將點C（0，-4）代入求a即可；
（2）由拋物線解析式可知對稱軸為x=3，與y軸的交點（0，-4），可求MC的長，y=x+2，可知D、F兩點坐標，計算DM，FM，判斷C、D、F三點在以M為圓心的圓上，利用圓周角定理求∠DCF的大�。�
（3）當直線y=x+m下方的拋物線上存在點P，使得∠DPF=45°，且滿足條件的點P只有兩個時，仿照（2）可求滿足條件的m的值．
點評：本題考查了用待定系數法求拋物線的解析式，已知拋物線與x軸的兩交點，可設交點式，綜合運用圓的知識，解答拋物線中角的問題．